Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2022 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Calcula

\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1 + x}}\,dx

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = \sqrt{1 + x}$ .)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\int_{0}^{3}\frac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx = \int_{1}^{2} 2\bigl(t^{2}-1\bigr)\,dt = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El cambio sugerido elimina la raíz de golpe: si

t = \sqrt{1+x}

, entonces

t^{2} = 1+x

, y tanto

x

como

dx

se expresan cómodamente en función de

t

.

Lo importante es hacer el cambio completo, en tres piezas:

El integrando: $x = t^{2} - 1$ y $\sqrt{1+x} = t$ .
El diferencial: de $x = t^{2}-1$ sale $dx = 2t\,dt$ .
Los límites de integración: $x = 0 \to t = 1$ y $x = 3 \to t = 2$ .

Con eso, el

t

del denominador se cancela con el

2t

del diferencial y queda un polinomio.

Desarrollo

El cambio de variable.

t = \sqrt{1+x} \;\Longrightarrow\; t^{2} = 1 + x \;\Longrightarrow\; x = t^{2} - 1, \qquad dx = 2t\,dt

Nuevos límites.

Para $x = 0$ : $\;t = \sqrt{1} = 1$
Para $x = 3$ : $\;t = \sqrt{4} = 2$

La integral transformada.

\int_{0}^{3}\frac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx = \int_{1}^{2}\frac{t^{2} - 1}{t}\cdot 2t\,dt = \int_{1}^{2} 2\bigl(t^{2} - 1\bigr)\,dt

t

del denominador se ha simplificado con el del diferencial, y lo que queda es un polinomio.

Cálculo.

\int_{1}^{2} 2\bigl(t^{2}-1\bigr)dt = 2\left[\frac{t^{3}}{3} - t\right]_{1}^{2} = 2\left[\left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(\frac{1}{3} - 1\right)\right]

= 2\left[\frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right)\right] = 2\cdot\frac{4}{3} = \frac{8}{3}

Valor numérico.

\frac{8}{3} \approx 2{,}667

(Comprobación de orden de magnitud: en $[0,3]$ el integrando va de $0$ a $\frac{3}{2} = 1{,}5$ , y es creciente, así que la integral debe quedar por debajo de $3 \cdot 1{,}5 = 4{,}5$ y por encima de $0$ . El valor $2{,}67$ encaja.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El cambio hay que hacerlo entero: integrando, diferencial y límites. Es muy fácil acordarse de sustituir $\sqrt{1+x}$ por $t$ y olvidar que la $x$ del numerador también cambia (a $t^{2}-1$ ) y que $dx$ no es $dt$ .

Si cambias los límites, no deshagas el cambio: evalúas directamente entre $1$ y $2$ . Si prefieres no cambiarlos, tendrás que volver a la variable $x$ antes de evaluar entre $0$ y $3$ . Las dos vías son correctas; lo que no vale es mezclar la primitiva en $t$ con los límites en $x$ .