Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2016 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int \frac{\sqrt{2x+1}}{2x+1+\sqrt{2x+1}}\,dx \qquad \left(\text{sugerencia}: t = \sqrt{2x+1}\right)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = \sqrt{2x+1}: \quad t^{2} = 2x+1, \quad dx = t\,dt\;}

\boxed{\;\int\frac{t}{t^{2}+t}\,t\,dt = \int\frac{t}{t+1}\,dt = \int\left(1 - \frac{1}{t+1}\right)dt = t - \ln(t+1) + C\;}

\boxed{\;\int \frac{\sqrt{2x+1}}{2x+1+\sqrt{2x+1}}\,dx = \sqrt{2x+1} - \ln\left(\sqrt{2x+1}+1\right) + C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral irracional con la sustitución ya sugerida. La clave es hacer el cambio completo: no solo la

x

, también el

dx

.

Con

t = \sqrt{2x+1}

se tiene

t^{2} = 2x+1

, y derivando:

2t\,dt = 2\,dx

, es decir

dx = t\,dt

.

Tras el cambio queda una función racional que se simplifica muchísimo, porque el denominador tiene factor común

t

Desarrollo

El cambio de variable.

t = \sqrt{2x+1} \;\Longrightarrow\; t^{2} = 2x+1 \;\Longrightarrow\; 2t\,dt = 2\,dx \;\Longrightarrow\; dx = t\,dt

(Observa que $t>0$ , así que $\sqrt{2x+1} = t$ sin valor absoluto.)

Sustituyendo. En el denominador,

2x+1 = t^{2}

\int \frac{\sqrt{2x+1}}{2x+1+\sqrt{2x+1}}\,dx = \int \frac{t}{t^{2}+t}\cdot t\,dt = \int \frac{t^{2}}{t\,(t+1)}\,dt = \int \frac{t}{t+1}\,dt

División del cociente. El grado del numerador no es menor que el del denominador, así que se divide:

\frac{t}{t+1} = \frac{(t+1)-1}{t+1} = 1 - \frac{1}{t+1}

Integrando.

\int\left(1 - \frac{1}{t+1}\right)dt = t - \ln\lvert t+1\rvert + C

Deshaciendo el cambio. Como

t = \sqrt{2x+1} > 0

, también

t+1>0

y el valor absoluto sobra:

\int \frac{\sqrt{2x+1}}{2x+1+\sqrt{2x+1}}\,dx = \sqrt{2x+1} - \ln\left(\sqrt{2x+1}+1\right) + C

Comprobación (derivando). Con

u = \sqrt{2x+1}

\;u' = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}

\frac{d}{dx}\Bigl[u - \ln(u+1)\Bigr] = u' - \frac{u'}{u+1} = u'\cdot\frac{u+1-1}{u+1} = \frac{1}{u}\cdot\frac{u}{u+1} = \frac{1}{u+1}

Y el integrando original vale

\frac{u}{u^{2}+u} = \frac{u}{u(u+1)} = \frac{1}{u+1} \quad \checkmark

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Consejo

El error más caro en los cambios de variable es olvidar el $dx$ . Aquí $dx = t\,dt$ , y ese $t$ extra es justo el que convierte $\dfrac{t}{t^{2}+t}$ en $\dfrac{t}{t+1}$ ; sin él la integral no se simplifica.

Cuando el numerador tiene grado mayor o igual que el denominador, divide antes de integrar. $\dfrac{t}{t+1}$ no es $\ln$ de nada: hay que escribirlo como $1 - \dfrac{1}{t+1}$ .

No olvides deshacer el cambio: la respuesta debe quedar en $x$ , no en $t$ . Y como $\sqrt{2x+1}+1$ es siempre positivo, puedes quitar el valor absoluto del logaritmo.