Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2022 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Calcula

\int_{0}^{1} x\operatorname{arc\,tg}(x)\,dx

(donde

\operatorname{arc\,tg}

denota la función arcotangente).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\int_{0}^{1} x\operatorname{arc\,tg}(x)\,dx = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\left(1 - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \approx 0{,}285\;}

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Estrategia

Integración por partes, con la elección obligada:

u = \operatorname{arc\,tg}(x)

, porque es la parte que sabemos derivar pero no integrar directamente. El resto,

dv = x\,dx

, se integra sin problema.

Tras aplicar partes queda una integral racional con numerador y denominador del mismo grado,

\displaystyle\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}dx

, que se resuelve con el truco de sumar y restar $1$ en el numerador. No hace falta descomponer en fracciones simples.

Desarrollo

Integración por partes.

u = \operatorname{arc\,tg}(x) \;\Longrightarrow\; du = \frac{dx}{1 + x^{2}}, \qquad dv = x\,dx \;\Longrightarrow\; v = \frac{x^{2}}{2}

\int_{0}^{1} x\operatorname{arc\,tg}(x)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\operatorname{arc\,tg}(x)\right]_{0}^{1} - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx

Primer término.

\left[\frac{x^{2}}{2}\operatorname{arc\,tg}(x)\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\operatorname{arc\,tg}(1) - 0 = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}

La integral racional. Sumando y restando

1

en el numerador:

\frac{x^{2}}{1+x^{2}} = \frac{x^{2} + 1 - 1}{1 + x^{2}} = 1 - \frac{1}{1+x^{2}}

\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx = \int_{0}^{1}\left(1 - \frac{1}{1+x^{2}}\right)dx = \Bigl[x - \operatorname{arc\,tg}(x)\Bigr]_{0}^{1} = \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) - 0 = 1 - \frac{\pi}{4}

Resultado.

\int_{0}^{1} x\operatorname{arc\,tg}(x)\,dx = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\left(1 - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}

Valor numérico.

\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \approx 0{,}7854 - 0{,}5 = 0{,}2854

(Comprobación de orden de magnitud: en $[0,1]$ el integrando $x\operatorname{arc\,tg}x$ va de $0$ a $\pi/4 \approx 0{,}785$ , así que la integral tiene que estar entre $0$ y $0{,}785$ . El valor $0{,}285$ encaja bien.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En las partes, $u$ debe ser lo que sabes derivar pero no integrar: el arcotangente. Si eliges $u = x$ y $dv = \operatorname{arc\,tg}(x)\,dx$ te bloqueas en el primer paso, porque integrar el arcotangente es más difícil que la integral de partida.

El truco $\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}} = 1 - \dfrac{1}{1+x^{2}}$ aparece constantemente. La regla general: cuando numerador y denominador de una racional tienen el mismo grado, lo primero es dividir (o sumar y restar), nunca lanzarse a las fracciones simples.