Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Dada la función f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida como f(x) = a\operatorname{sen}(x)+b x^{2}+c x+d determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto (0,4) y que la segunda derivada de f es f''(x) = 3\operatorname{sen}(x)-10

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2010 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Dada la función

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida como

f(x) = a\operatorname{sen}(x)+b x^{2}+c x+d

determina los valores de las constantes

a

b

c

d

sabiendo que la gráfica de

f

tiene tangente horizontal en el punto

(0,4)

y que la segunda derivada de

f

f''(x) = 3\operatorname{sen}(x)-10

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = a\cos x+2bx+c, \qquad f''(x) = -a\operatorname{sen} x+2b\;}

\boxed{\;-a\operatorname{sen} x+2b = 3\operatorname{sen} x-10 \;\Longrightarrow\; a = -3, \ b = -5\;}

\boxed{\;f'(0) = a+c = 0 \Rightarrow c = 3; \qquad f(0) = d = 4\;}

\boxed{\;f(x) = -3\operatorname{sen} x-5x^{2}+3x+4\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El dato más potente es

f''

: al derivar dos veces,

c

d

desaparecen y quedan

a

b

identificados término a término.

f''(x) = -a\operatorname{sen}(x)+2b

Comparando con

3\operatorname{sen}(x)-10

salen

a

b

de inmediato. Luego:

"tangente horizontal en $x=0$ " $\Rightarrow f'(0) = 0$ (da $c$ ),
"pasa por $(0,4)$ " $\Rightarrow f(0) = 4$ (da $d$ ).

Desarrollo

Las derivadas.

f(x) = a\operatorname{sen} x+b x^{2}+c x+d

f'(x) = a\cos x+2b x+c

f''(x) = -a\operatorname{sen} x+2b

1) Identificamos con el dato $f'' = 3\operatorname{sen} x-10$ .

-a\operatorname{sen} x+2b = 3\operatorname{sen} x-10

Coeficiente de $\operatorname{sen} x$ :

\;-a = 3 \Longrightarrow a = -3

Término independiente:

\;2b = -10 \Longrightarrow b = -5

2) Tangente horizontal en $x = 0$ .

f'(0) = a\cos0+0+c = a+c = -3+c = 0 \;\Longrightarrow\; c = 3

3) Pasa por $(0,4)$ .

f(0) = a\operatorname{sen}0+0+0+d = d = 4

a = -3, \qquad b = -5, \qquad c = 3, \qquad d = 4

La función es

f(x) = -3\operatorname{sen} x-5x^{2}+3x+4

Comprobaciones.

f''(x) = 3\operatorname{sen} x-10 \;\checkmark

f'(x) = -3\cos x-10x+3 \;\Longrightarrow\; f'(0) = -3+3 = 0 \;\checkmark

f(0) = 0-0+0+4 = 4 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando te dan $f''$ completa, identifica término a término: la función seno y la constante son "independientes", así que sus coeficientes se igualan por separado.

"Tangente horizontal en $(0,4)$ " son dos condiciones: $f'(0) = 0$ (horizontal) y $f(0) = 4$ (pasa por el punto). Cada una da una constante.

El orden es el más económico: primero $a$ y $b$ desde $f''$ , después $c$ desde $f'$ y por último $d$ desde $f$ . Cada paso usa el anterior.