Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2018 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Se desea construir una canaleta, para la recogida de agua, cuya sección es como la de la figura. La base y los costados deben medir

10

cm y se trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener una sección de área máxima. Se pide:

Sección trapezoidal de la canaleta: base 10 cm, dos costados de 10 cm inclinados hacia fuera; x es la proyección horizontal de cada costado

a) [0,25 puntos] Halla la altura de la canaleta en función de

x

(ver la figura).

b) [0,75 puntos] Halla el área de la sección de la canaleta en función de

x

.

c) [1,5 puntos] Encuentra el valor de

x

que hace máximo dicho área.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad h = \sqrt{100 - x^{2}}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A(x) = \frac{(10+2x)+10}{2}\,h = (10+x)\sqrt{100-x^{2}}\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad A'(x) = \frac{-2x^{2}-10x+100}{\sqrt{100-x^{2}}} = 0 \Rightarrow x = 5; \quad h = 5\sqrt3, \quad A_{\max} = 75\sqrt3 \approx 129{,}9 \ \text{cm}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La sección es un trapecio isósceles: base menor

10

(el fondo), dos lados iguales de

10

y base mayor

10 + 2x

, donde

x

es la proyección horizontal de cada costado.

Como el costado mide

10

y avanza

x

en horizontal, el teorema de Pitágoras da la altura:

h = \sqrt{100 - x^{2}}

Con eso, el área del trapecio queda en función de una sola variable, y el resto es optimización estándar. La derivada tendrá una raíz en el denominador, así que conviene reducir a común denominador antes de anularla.

Desarrollo

a) La altura. El costado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos

x

(horizontal) y

h

(vertical):

x^{2} + h^{2} = 10^{2} \;\Longrightarrow\; h = \sqrt{100 - x^{2}}, \qquad 0 \leq x < 10

b) El área de la sección. Fórmula del trapecio, con base menor

10

y base mayor

10 + 2x

A(x) = \frac{(10 + 2x) + 10}{2}\cdot h = \frac{20 + 2x}{2}\,\sqrt{100 - x^{2}} = \bigl(10 + x\bigr)\sqrt{100 - x^{2}}

c) Optimización. Derivamos (producto, con la raíz dentro):

A'(x) = \sqrt{100 - x^{2}} + (10+x)\cdot\frac{-x}{\sqrt{100-x^{2}}}

Reduciendo a común denominador:

A'(x) = \frac{\bigl(100 - x^{2}\bigr) - x\,(10 + x)}{\sqrt{100-x^{2}}} = \frac{100 - x^{2} - 10x - x^{2}}{\sqrt{100-x^{2}}} = \frac{-2x^{2} - 10x + 100}{\sqrt{100-x^{2}}}

Puntos críticos. El denominador no se anula en

(0,10)

, luego basta con el numerador:

-2x^{2} - 10x + 100 = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} + 5x - 50 = 0

x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2} = \frac{-5 \pm 15}{2} \;\Longrightarrow\; x = 5 \quad \text{o} \quad x = -10

Solo

x = 5

tiene sentido físico.

Es máximo. El numerador

-2x^{2}-10x+100

es una parábola hacia abajo con raíces

-10

5

: es positivo antes de

x=5

y negativo después. Luego

A

crece hasta

x=5

y decrece a partir de ahí: máximo.

(Con la segunda derivada: $A''(5) \approx -3{,}46 < 0$ , mismo veredicto.)

Las dimensiones óptimas.

x = 5 \ \text{cm}, \qquad h = \sqrt{100-25} = \sqrt{75} = 5\sqrt3 \approx 8{,}66 \ \text{cm}

A_{\max} = (10+5)\cdot 5\sqrt3 = 75\sqrt{3} \approx 129{,}9 \ \text{cm}^{2}

(La base mayor mide $10 + 2\cdot 5 = 20$ cm: el trapecio óptimo es la mitad de un hexágono regular, con los costados formando $60^{\circ}$ con la base. Es el resultado clásico de este problema.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Identifica bien qué es $x$ en la figura: es la proyección horizontal del costado, no su longitud (que vale $10$ ) ni la base mayor. De ahí sale el triángulo rectángulo de catetos $x$ y $h$ e hipotenusa $10$ .

La base mayor es $10 + 2x$ , con dos equis: una por cada lado. Olvidar el factor $2$ es el error más frecuente y da un $x$ óptimo distinto.

Al derivar un producto con raíz, reduce a común denominador antes de anular: así basta con igualar el numerador a cero. Y descarta la raíz negativa razonando con el contexto físico, no solo "porque sí".