Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2017 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{0}^{3}\frac{1}{1 + \sqrt[3]{x}}\,dx

(sugerencia: $t = \sqrt[3]{x}$ ).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = \sqrt[3]{x} \;\Longrightarrow\; x = t^{3},\; dx = 3t^{2}dt; \qquad x=0\to t=0,\; x=3\to t=\sqrt[3]{3}\;}

\boxed{\;\int_{0}^{\sqrt[3]{3}}\frac{3t^{2}}{1+t}\,dt = \int_{0}^{\sqrt[3]{3}}\left(3t - 3 + \frac{3}{t+1}\right)dt\;}

\boxed{\;I = \frac{3\sqrt[3]{9}}{2} - 3\sqrt[3]{3} + 3\ln\bigl(1+\sqrt[3]{3}\bigr) \approx 1{,}47\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El cambio sugerido elimina la raíz cúbica: con

t = \sqrt[3]{x}

se tiene

x = t^{3}, \qquad dx = 3t^{2}\,dt

y el denominador pasa a ser

1+t

. Queda una racional impropia (grado

2

arriba, grado

1

abajo) que se resuelve con una división.

Al ser una integral definida, hay que transformar también los límites:

x=0\to t=0

x=3\to t=\sqrt[3]{3}

Desarrollo

El cambio de variable.

t = \sqrt[3]{x} \;\Longrightarrow\; x = t^{3}, \qquad dx = 3t^{2}\,dt

Los nuevos límites.

x = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0, \qquad x = 3 \;\Longrightarrow\; t = \sqrt[3]{3}

La integral transformada.

\int_{0}^{3}\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x}} = \int_{0}^{\sqrt[3]{3}}\frac{3t^{2}}{1+t}\,dt

División. El numerador tiene grado mayor:

3t^{2} = (t+1)\,(3t-3) + 3 \;\Longrightarrow\; \frac{3t^{2}}{t+1} = 3t - 3 + \frac{3}{t+1}

(Comprobación: $(t+1)(3t-3) = 3t^{2} - 3$ , y faltan $+3$ .)

Integración.

\int_{0}^{\sqrt[3]{3}}\left(3t - 3 + \frac{3}{t+1}\right)dt = \left[\frac{3t^{2}}{2} - 3t + 3\ln(t+1)\right]_{0}^{\sqrt[3]{3}}

En $t = \sqrt[3]{3}$ , usando

\bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2} = \sqrt[3]{9}

\frac{3\sqrt[3]{9}}{2} - 3\sqrt[3]{3} + 3\ln\bigl(1 + \sqrt[3]{3}\bigr)

En $t = 0$ :

\;0 - 0 + 3\ln 1 = 0

I = \frac{3\sqrt[3]{9}}{2} - 3\sqrt[3]{3} + 3\ln\bigl(1 + \sqrt[3]{3}\bigr)

Valor numérico. Con

\sqrt[3]{3} \approx 1{,}442

\sqrt[3]{9} \approx 2{,}080

I \approx 3{,}120 - 4{,}327 + 3\ln(2{,}442) \approx 3{,}120 - 4{,}327 + 2{,}679 = 1{,}47

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al cambiar $t = \sqrt[3]{x}$ , el $dx = 3t^{2}dt$ sube el grado del numerador: por eso la racional que queda es impropia y hay que dividir antes de integrar. Es el paso que más se salta.

Transforma los límites y olvídate de deshacer el cambio: $t$ va de $0$ a $\sqrt[3]{3}$ . Y no te asustes porque el límite superior no sea un número entero; el resultado exacto lleva radicales, y eso es perfectamente aceptable.

Cuidado con $\bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2}$ : es $\sqrt[3]{9}$ , no $3$ ni $\sqrt{3}$ . Dejar el resultado en forma exacta y añadir la aproximación decimal es la mejor presentación.