Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2014 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima.

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Resultado

\boxed{\;S(x) = x+\frac1x, \qquad x>0\;}

\boxed{\;S'(x) = 1-\frac{1}{x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \ (\text{se descarta } x = -1)\;}

\boxed{\;S''(1) = 2 > 0 \;\Longrightarrow\; \text{mínimo}; \qquad S(1) = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Optimización sin restricción externa: el enunciado ya da la función.

S(x) = x+\frac{1}{x}, \qquad x>0

(«Inverso» aquí es el inverso multiplicativo $\frac1x$ , no el opuesto $-x$ .)

La condición

x>0

no es un detalle menor: en los negativos la función tiene un máximo (en

x=-1

), no un mínimo, así que hay que restringirse al dominio pedido.

Desarrollo

La función. Sea

x>0

el número buscado:

S(x) = x+\frac{1}{x}

Derivada y punto crítico.

S'(x) = 1-\frac{1}{x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; x = 1 \quad (\text{se descarta } x=-1 \text{ por ser } x>0)

Es mínimo.

S''(x) = \frac{2}{x^{3}} \;\Longrightarrow\; S''(1) = 2 > 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo}

(De hecho $S''>0$ en todo $x>0$ : la función es convexa en el dominio, así que el mínimo es absoluto.)

El número y la suma.

x = 1, \qquad S(1) = 1+1 = 2

\textbf{El número es } 1 \textbf{ y la suma mínima vale } 2

Comprobación con otros valores.

S(0{,}5) = 0{,}5+2 = 2{,}5 \qquad S(2) = 2+0{,}5 = 2{,}5 \qquad S(1) = 2 \quad \checkmark

(Es el caso más sencillo de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica: $\;x+\frac1x \geq 2\sqrt{x\cdot\frac1x} = 2$ , con igualdad solo si $x = \frac1x$ , es decir, $x=1$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Su inverso" es $\frac1x$ (inverso multiplicativo), no $-x$ (el opuesto). Con $-x$ la suma sería idénticamente $0$ y el problema no tendría sentido.

La restricción $x>0$ es la que descarta la raíz $x=-1$ . Sin ella habría dos puntos críticos: un mínimo en $x=1$ y un máximo en $x=-1$ .

Justifica el mínimo con $S''(1)>0$ . Y como bonus, mencionar la desigualdad $x+\frac1x\geq2$ demuestra que además es absoluto, no solo relativo.