Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2022 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Calcula

\int \frac{2x^{3} + 2x^{2} - 2x + 7}{x^{2} + x - 2}\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\frac{2x^{3}+2x^{2}-2x+7}{x^{2}+x-2} = 2x - \frac{1}{x+2} + \frac{3}{x-1}\;}

\boxed{\;\int \frac{2x^{3}+2x^{2}-2x+7}{x^{2}+x-2}\,dx = x^{2} - \ln|x+2| + 3\ln|x-1| + C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral racional de manual, con el guion de siempre:

Como el grado del numerador ( $3$ ) supera al del denominador ( $2$ ), dividir los polinomios. Sin este paso, la descomposición en fracciones simples no es aplicable.
Factorizar el denominador: $x^{2}+x-2$ tiene raíces enteras, así que sale en dos factores lineales distintos.
Descomponer el resto en fracciones simples y aplicar el método de los valores particulares (dar a $x$ el valor de cada raíz), que es el más rápido cuando las raíces son simples.

Al ser una integral indefinida, no hay que olvidar la constante y los valores absolutos de los logaritmos.

Desarrollo

División de polinomios. Dividiendo

2x^{3} + 2x^{2} - 2x + 7

entre

x^{2}+x-2

2x \cdot \bigl(x^{2}+x-2\bigr) = 2x^{3} + 2x^{2} - 4x

Restando: el resto parcial es

\;(-2x + 4x) + 7 = 2x + 7

, de grado menor que el divisor. Por tanto el cociente es

2x

\frac{2x^{3}+2x^{2}-2x+7}{x^{2}+x-2} = 2x + \frac{2x + 7}{x^{2}+x-2}

Factorización del denominador.

x^{2} + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

Fracciones simples.

\frac{2x+7}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1} \;\Longrightarrow\; 2x + 7 = A\,(x-1) + B\,(x+2)

Con $x = 1$ : $\;9 = 3B \Longrightarrow B = 3$
Con $x = -2$ : $\;3 = -3A \Longrightarrow A = -1$

\frac{2x+7}{x^{2}+x-2} = \frac{-1}{x+2} + \frac{3}{x-1}

Integración.

\int\left(2x - \frac{1}{x+2} + \frac{3}{x-1}\right)dx = x^{2} - \ln|x+2| + 3\ln|x-1| + C

Comprobación. Derivando:

2x - \frac{1}{x+2} + \frac{3}{x-1} = 2x + \frac{-(x-1) + 3(x+2)}{(x+2)(x-1)} = 2x + \frac{2x + 7}{x^{2}+x-2}

que es exactamente el integrando tras la división. Correcto.

(La respuesta también puede escribirse de forma compacta agrupando los logaritmos: $\;x^{2} + \ln\left|\dfrac{(x-1)^{3}}{x+2}\right| + C$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Divide primero. Con el numerador de grado mayor, saltar directamente a las fracciones simples no funciona: el sistema que sale es incompatible. La división es el paso que convierte la integral en "un polinomio más una racional propia".

Y no te dejes ni los valores absolutos ni la constante. Son integrales indefinidas de logaritmo: $\int \frac{dx}{x+2} = \ln|x+2| + C$ . El método de dar a $x$ el valor de cada raíz ( $x=1$ y $x=-2$ ) te ahorra plantear e igualar coeficientes.