Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2018 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{0}^{\ln(2)}\frac{1}{1 + e^{x}}\,dx

donde

\ln

denota logaritmo neperiano (sugerencia: $t = e^{x}$ ).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = e^{x},\; dx = \frac{dt}{t}; \qquad x=0 \to t=1, \quad x=\ln 2 \to t=2\;}

\boxed{\;\int_{1}^{2}\frac{dt}{t(1+t)} = \int_{1}^{2}\left(\frac1t - \frac{1}{1+t}\right)dt = \left[\ln\frac{t}{1+t}\right]_{1}^{2}\;}

\boxed{\;= \ln\frac23 - \ln\frac12 = \ln\frac{4}{3} \approx 0{,}288\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Con el cambio sugerido,

t = e^{x}

, se tiene

dt = e^{x}\,dx = t\,dx

, luego

dx = \dfrac{dt}{t}

. La integral se convierte en una racional:

\int\frac{1}{1+t}\cdot\frac{dt}{t} = \int\frac{dt}{t\,(1+t)}

que se descompone en fracciones simples.

Al ser una integral definida, hay que transformar también los límites:

x=0 \to t=1

x=\ln 2 \to t=2

. Hecho eso, ya no hay que deshacer el cambio.

Desarrollo

El cambio de variable.

t = e^{x} \;\Longrightarrow\; dt = e^{x}dx = t\,dx \;\Longrightarrow\; dx = \frac{dt}{t}

Los nuevos límites.

x = 0 \;\Longrightarrow\; t = e^{0} = 1, \qquad x = \ln 2 \;\Longrightarrow\; t = e^{\ln 2} = 2

\int_{0}^{\ln 2}\frac{dx}{1+e^{x}} = \int_{1}^{2}\frac{1}{1+t}\cdot\frac{dt}{t} = \int_{1}^{2}\frac{dt}{t\,(1+t)}

Fracciones simples.

\frac{1}{t\,(1+t)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t} \;\Longrightarrow\; 1 = A\,(1+t) + B\,t

t = 0: \; 1 = A \qquad\qquad t = -1: \; 1 = -B \Rightarrow B = -1

\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}\right)dt = \Bigl[\ln|t| - \ln|1+t|\Bigr]_{1}^{2} = \left[\ln\frac{t}{1+t}\right]_{1}^{2}

Evaluación.

= \ln\frac{2}{3} - \ln\frac{1}{2} = \ln\frac{2}{3} + \ln 2 = \ln\frac{4}{3}

\int_{0}^{\ln 2}\frac{dx}{1+e^{x}} = \ln\frac{4}{3} \approx 0{,}288

Comprobación deshaciendo el cambio. Volviendo a

x

, la primitiva es

\ln\frac{e^{x}}{1+e^{x}} = x - \ln\bigl(1+e^{x}\bigr)

y evaluando directamente:

\Bigl[x - \ln(1+e^{x})\Bigr]_{0}^{\ln 2} = \bigl(\ln 2 - \ln 3\bigr) - \bigl(0 - \ln 2\bigr) = 2\ln 2 - \ln 3 = \ln\frac{4}{3} \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En una integral definida con cambio de variable, transforma también los límites. Así te ahorras deshacer el cambio al final, que es donde más errores se cometen. (Si prefieres deshacerlo, no pasa nada: el resultado es el mismo, como muestra la comprobación.)

El $dx = \frac{dt}{t}$ es lo que introduce el segundo factor en el denominador y convierte $\frac{1}{1+t}$ en $\frac{1}{t(1+t)}$ : dos polos y dos fracciones simples. Sin ese paso, la descomposición sería otra.

Agrupa los logaritmos antes de evaluar: $\ln t - \ln(1+t) = \ln\frac{t}{1+t}$ deja las cuentas mucho más limpias que sustituir cuatro logaritmos por separado.