Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea la función

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = e^{x}\bigl(x^{2}-x+1\bigr)

.

a) [0,75 puntos] Calcula

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)

.

b) [1,25 puntos] Halla los extremos relativos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.

c) [0,5 puntos] Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } \lim_{x\to+\infty}f = +\infty; \qquad \lim_{x\to-\infty}f = 0 \ (\text{A.H. } y = 0)\;}

\boxed{\;f'(x) = e^{x}\,x\,(x+1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1,\ x = 0\;}

\boxed{\;f''(x) = e^{x}\bigl(x^{2}+3x+1\bigr): \ \text{máximo } \left(-1,\tfrac3e\right), \ \text{mínimo } (0,1)\;}

\boxed{\;\text{c) } x^{2}+3x+1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{-3\pm\sqrt5}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) En $+\infty$ ambos factores tienden a $+\infty$ . En $-\infty$ hay indeterminación $0\cdot\infty$ , que se resuelve con L'Hôpital: la exponencial gana al polinomio.
b) y c) Al derivar, $e^{x}$ sale factor común y nunca se anula: los puntos críticos y de inflexión son las raíces de los polinomios que quedan.

Un detalle bonito: la derivada de

e^{x}P(x)

e^{x}\bigl(P+P'\bigr)

, lo que simplifica mucho las cuentas.

Desarrollo

a) Los límites.

En $+\infty$ :

\;e^{x}\to+\infty

x^{2}-x+1\to+\infty

\lim_{x\to+\infty}e^{x}\bigl(x^{2}-x+1\bigr) = +\infty

En $-\infty$ :

\;e^{x}\to0

y el polinomio

\to+\infty

: indeterminación

0\cdot\infty

. La escribimos como cociente:

\lim_{x\to-\infty}\frac{x^{2}-x+1}{e^{-x}} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to-\infty}\frac{2x-1}{-e^{-x}} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to-\infty}\frac{2}{e^{-x}} = 0

\lim_{x\to-\infty}f(x) = 0 \qquad \text{(asíntota horizontal } y=0 \text{ en } -\infty)

b) La derivada.

f'(x) = e^{x}\bigl(x^{2}-x+1\bigr)+e^{x}\bigl(2x-1\bigr) = e^{x}\bigl(x^{2}+x\bigr) = e^{x}\,x\,(x+1)

Puntos críticos. Como

e^{x}>0

x\,(x+1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1 \quad \text{o} \quad x = 0

La segunda derivada.

f''(x) = e^{x}\bigl(x^{2}+x\bigr)+e^{x}\bigl(2x+1\bigr) = e^{x}\bigl(x^{2}+3x+1\bigr)

Clasificación.

f''(-1) = e^{-1}\,(1-3+1) = -\frac1e < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo relativo}

f''(0) = e^{0}\,(0-0+1) = 1 > 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo relativo}

Los valores.

f(-1) = e^{-1}\,(1+1+1) = \frac{3}{e} \approx 1{,}10 \qquad f(0) = e^{0}\cdot 1 = 1

\text{Máximo en } \left(-1,\; \frac3e\right); \qquad \text{Mínimo en } (0,\, 1)

c) Puntos de inflexión. Como

e^{x}>0

x^{2}+3x+1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{-3\pm\sqrt{9-4}}{2} = \frac{-3\pm\sqrt5}{2}

x \approx -0{,}38 \qquad \text{y} \qquad x \approx -2{,}62

(En ambos $f''$ cambia de signo, porque son raíces simples de la parábola: son puntos de inflexión de verdad.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al derivar $e^{x}P(x)$ sale $e^{x}\bigl(P+P'\bigr)$ : el $e^{x}$ es factor común y nunca se anula, así que todo se reduce a las raíces de polinomios. Sacarlo desde el principio simplifica mucho.

En $-\infty$ hay indeterminación $0\cdot\infty$ : hay que pasarla a cociente ( $e^{x} = \frac{1}{e^{-x}}$ ) antes de aplicar L'Hôpital. Y hacen falta dos aplicaciones.

Los puntos de inflexión salen de $f''=0$ con cambio de signo. Aquí las raíces son simples, así que el cambio está garantizado; conviene decirlo.