Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2018 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f

la función definida por

f(x) = \frac{e^{x}}{x - 1} \qquad \text{para } x \neq 1

a) [0,75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

y halla sus máximos y mínimos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

c) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de

f

indicando sus puntos de corte con los ejes coordenados.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{A.V.: } x = 1; \quad \text{A.H.: } y = 0 \text{ cuando } x\to-\infty; \quad \text{sin oblicua}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f'(x) = \frac{e^{x}(x-2)}{(x-1)^{2}}: \text{ decrece en } (-\infty,1)\cup(1,2), \text{ crece en } (2,+\infty)\;}

\boxed{\;\text{Mínimo relativo } \bigl(2,\, e^{2}\bigr) \approx (2;\, 7{,}39); \qquad \text{c) corte único } (0,-1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Función del tipo exponencial partida por polinomio. La clave está en que la exponencial se comporta de forma muy distinta en cada infinito:

Cuando $x\to-\infty$ , $e^{x}\to 0$ y el denominador tiende a $-\infty$ : el cociente tiende a $0$ . Hay asíntota horizontal.
Cuando $x\to+\infty$ , la exponencial gana a cualquier polinomio: el cociente tiende a $+\infty$ . No hay asíntota por ese lado (ni siquiera oblicua).

Al derivar,

e^{x}

sale factor común y todo el signo lo decide un factor lineal.

Desarrollo

a) Asíntotas.

Vertical. El denominador se anula en

x=1

, donde el numerador vale

e \neq 0

\lim_{x\to 1^{-}}\frac{e^{x}}{x-1} = \frac{e}{0^{-}} = -\infty, \qquad \lim_{x\to 1^{+}}\frac{e^{x}}{x-1} = \frac{e}{0^{+}} = +\infty

\textbf{Asíntota vertical: } x = 1

Horizontal.

\lim_{x\to -\infty}\frac{e^{x}}{x-1} = \frac{0}{-\infty} = 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{Asíntota horizontal } y = 0 \text{ (solo en } -\infty)

\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{x}}{x-1} \;\overset{\infty/\infty}{=}\; \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{1} = +\infty

Oblicua. Por ese lado tampoco la hay, porque

\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x\,(x-1)} = +\infty

(la exponencial crece más deprisa que cualquier polinomio).

b) Monotonía y extremos.

f'(x) = \frac{e^{x}\,(x-1) - e^{x}\cdot 1}{(x-1)^{2}} = \frac{e^{x}\,(x - 2)}{(x-1)^{2}}

Como

e^{x} > 0

(x-1)^{2} > 0

, el signo lo marca solo

(x-2)

\begin{array}{c|c|c|c} \text{Intervalo} & x-2 & f' & f \\ \hline (-\infty,\, 1) & - & - & \text{decreciente} \\ (1,\, 2) & - & - & \text{decreciente} \\ (2,\, +\infty) & + & + & \text{creciente}\end{array}

\text{Decreciente en } (-\infty,1)\cup(1,2); \qquad \text{creciente en } (2,+\infty)

Extremo relativo. En

x=2

la derivada pasa de negativa a positiva: mínimo relativo.

f(2) = \frac{e^{2}}{2-1} = e^{2} \approx 7{,}39

\text{Mínimo relativo } \bigl(2,\; e^{2}\bigr)

No hay máximos relativos.

c) Cortes con los ejes y esbozo.

Con el eje $OX$ :

\;f(x) = 0

exigiría

e^{x} = 0

, imposible. No hay corte con $OX$ .

Con el eje $OY$ :

f(0) = \frac{e^{0}}{0-1} = \frac{1}{-1} = -1 \;\Longrightarrow\; (0,\, -1)

El esbozo. Para

x < 1

la función es negativa (numerador positivo, denominador negativo): viene de

y=0

por debajo, baja atravesando

(0,-1)

y se hunde hacia

-\infty

al acercarse a

x=1

. Para

x>1

es positiva: baja desde

+\infty

hasta el mínimo

\bigl(2, e^{2}\bigr)

y luego crece sin límite.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La asíntota horizontal $y=0$ existe solo por la izquierda. Decir "hay asíntota horizontal $y=0$ " sin más es impreciso: por la derecha la función se dispara a $+\infty$ . Conviene especificar en qué rama.

Al derivar el cociente, saca $e^{x}$ factor común en el numerador: queda $e^{x}(x-2)$ y el signo se lee de un vistazo. Sin simplificar, encontrar la raíz cuesta bastante más.

Una exponencial nunca se anula, así que no hay corte con el eje $OX$ . Decirlo explícitamente (en vez de dejar el apartado en blanco) es parte de la respuesta.