Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2019 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int \ln\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right)dx

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = \ln(x^{2}+1) - \ln x \;\Longrightarrow\; du = \frac{x^{2}-1}{x(x^{2}+1)}\,dx, \qquad v = x\;}

\boxed{\;I = x\ln\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right) - \int\left(1 - \frac{2}{x^{2}+1}\right)dx\;}

\boxed{\;\int\ln\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right)dx = x\,\ln\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right) - x + 2\operatorname{arctg}(x) + C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral de un logaritmo solo: el método es siempre el mismo, por partes con

u = \ln\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right), \qquad dv = dx \;\Longrightarrow\; v = x

Al derivar

u

conviene usar antes la propiedad del logaritmo de un cociente,

\ln\frac{x^{2}+1}{x} = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - \ln x

que evita tener que derivar un cociente dentro de un logaritmo.

La integral que queda es racional y se resuelve con una división que deja un arco tangente.

Desarrollo

Preparación del logaritmo.

u = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - \ln x

du = \left(\frac{2x}{x^{2}+1} - \frac{1}{x}\right)dx = \frac{2x^{2} - \bigl(x^{2}+1\bigr)}{x\,\bigl(x^{2}+1\bigr)}\,dx = \frac{x^{2}-1}{x\,(x^{2}+1)}\,dx

Integración por partes con

dv = dx

v = x

I = x\,\ln\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right) - \int x\cdot\frac{x^{2}-1}{x\,(x^{2}+1)}\,dx = x\,\ln\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right) - \int\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\,dx

(La $x$ de $v$ se cancela con la del denominador: por eso conviene dejar $du$ con el denominador factorizado.)

La integral racional. El grado del numerador iguala al del denominador, así que se divide:

\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} = \frac{\bigl(x^{2}+1\bigr) - 2}{x^{2}+1} = 1 - \frac{2}{x^{2}+1}

\int\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\,dx = \int\left(1 - \frac{2}{x^{2}+1}\right)dx = x - 2\operatorname{arctg}(x)

Resultado.

I = x\,\ln\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right) - x + 2\operatorname{arctg}(x) + C

Comprobación (derivando):

I' = \ln\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right) + x\cdot\frac{x^{2}-1}{x\,(x^{2}+1)} - 1 + \frac{2}{x^{2}+1}

= \ln\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right) + \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} - 1 + \frac{2}{x^{2}+1} = \ln\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right) + \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1} - 1

= \ln\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right) \quad \checkmark

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Consejo

Un logaritmo solo siempre se integra por partes con $dv = dx$ . No hay alternativa más corta, y funciona igual con $\ln x$ , $\ln(x+2)$ o, como aquí, con un cociente dentro.

Antes de derivar, rompe el logaritmo del cociente en resta de logaritmos. Derivar $\ln\frac{x^{2}+1}{x}$ como cociente es correcto pero mucho más largo, y el resultado es el mismo.

Recuerda que $\int\frac{dx}{x^{2}+1} = \operatorname{arctg} x$ . Y no olvides dividir antes: $\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$ no es un arco tangente directo; hay que separarlo en $1 - \frac{2}{x^{2}+1}$ .