Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2010 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener

18\ \text{cm}^{2}

de texto. Los márgenes superior e inferior han de tener

2\ \text{cm}

cada uno y los laterales

1\ \text{cm}

.

Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Texto } x\times y \text{ con } xy = 18; \quad \text{hoja } (x+2)\times(y+4)\;}

\boxed{\;S(x) = (x+2)\left(\frac{18}{x}+4\right) = 4x+\frac{36}{x}+26\;}

\boxed{\;S'(x) = 4-\frac{36}{x^{2}} = 0 \Rightarrow x = 3 \quad \bigl(S''(3) = \tfrac83>0\bigr)\;}

\boxed{\;\text{Hoja: } 5\times10 \ \text{cm}, \quad S_{\min} = 50 \ \text{cm}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Conviene tomar como variables las dimensiones del texto, no las de la hoja: así la ligadura queda limpia.

Si el texto mide

x

de ancho por

y

de alto:

x\,y = 18

y la hoja mide

\text{ancho} = x+2\cdot1 = x+2 \qquad \text{alto} = y+2\cdot2 = y+4

(Los laterales son dos, de $1\ \text{cm}$ cada uno; los márgenes horizontales son dos, de $2\ \text{cm}$ .)

Desarrollo

Las variables.

x

= ancho del texto,

y

= alto del texto, con

xy = 18

y = \frac{18}{x}

La superficie de la hoja.

S(x) = (x+2)\,(y+4) = (x+2)\left(\frac{18}{x}+4\right)

= 18+4x+\frac{36}{x}+8 = 4x+\frac{36}{x}+26, \qquad x>0

Derivamos.

S'(x) = 4-\frac{36}{x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 9 \;\Longrightarrow\; x = 3

(La raíz $x = -3$ se descarta: es una longitud.)

Es mínimo:

S''(x) = \frac{72}{x^{3}} \;\Longrightarrow\; S''(3) = \frac{72}{27} = \frac83 > 0 \;\checkmark

(Además, $x=3$ es el único punto crítico en $x>0$ y $S''>0$ en todo ese intervalo, así que el mínimo es absoluto, no solo relativo.)

Las dimensiones.

y = \frac{18}{3} = 6

\textbf{Texto: } 3\times6\ \text{cm} \qquad \textbf{Hoja: } (3+2)\times(6+4) = 5\times10 \ \text{cm}

S_{\min} = 5\cdot10 = 50 \ \text{cm}^{2}

Comprobación del área de texto:

\;3\cdot6 = 18\ \text{cm}^{2}

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Toma como variables las medidas del texto: la ligadura ( $xy = 18$ ) queda inmediata. Si partes de las dimensiones de la hoja, la ligadura es $(X-2)(Y-4) = 18$ , más incómoda.

Cuenta bien los márgenes: hay dos laterales de $1\ \text{cm}$ (suman $2$ ) y dos horizontales de $2\ \text{cm}$ (suman $4$ ). Restar uno solo de cada es el error típico.

Funciones del tipo $ax+\frac{b}{x}+c$ aparecen en casi todos los problemas de "caja" o "hoja": su mínimo está en $x = \sqrt{b/a}$ y la segunda derivada es siempre positiva para $x>0$ .