Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2021 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Sabiendo que

\lim_{x \to 0}\left(\frac{x + 1}{\ln\,(x + 1)} - \frac{a}{x}\right)

es finito, calcula

a

y el valor del límite (

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\frac{x+1}{\ln(x+1)} - \frac{a}{x} = \frac{(1-a)x + \left(1 + \frac{a}{2}\right)x^{2} + O(x^{3})}{x^{2} + O(x^{3})}\;}

\boxed{\;a = 1 \quad \text{(para que sea finito)}, \qquad \text{y el límite vale } \frac{3}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una indeterminación del tipo

\infty - \infty

: cada sumando se dispara por separado cuando

x \to 0

(el primero porque

\ln(x+1) \to 0

, el segundo por el

x

del denominador). Lo primero es unirlos en una sola fracción:

\frac{x(x+1) - a\ln(x+1)}{x\ln(x+1)}

El denominador es un infinitésimo de orden dos (porque

\ln(1+x) \sim x

). Para que el límite sea finito, el numerador tiene que ser también un infinitésimo de orden (al menos) dos, y eso obliga a que su coeficiente de $x$ se anule: ahí está la ecuación que despeja

a

.

Después, el coeficiente de

x^{2}

da el valor del límite.

Desarrollo

Unificación en una fracción.

\frac{x+1}{\ln(x+1)} - \frac{a}{x} = \frac{x\,(x+1) - a\ln(x+1)}{x\ln(x+1)}

Desarrollo del denominador. Con

\ln(1+x) = x - \dfrac{x^{2}}{2} + O(x^{3})

x\ln(x+1) = x\left(x - \frac{x^{2}}{2} + \cdots\right) = x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)

Es un infinitésimo de orden $2$ .

Desarrollo del numerador.

x\,(x+1) = x + x^{2}

a\ln(x+1) = a\left(x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \cdots\right) = a\,x - \frac{a}{2}x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)

N(x) = \bigl(x + x^{2}\bigr) - \left(a\,x - \frac{a}{2}x^{2}\right) + O\!\left(x^{3}\right) = (1 - a)\,x + \left(1 + \frac{a}{2}\right)x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)

Primera condición: que el límite sea finito. Si

1 - a \neq 0

, el numerador sería de orden

1

y el cociente se comportaría como

\dfrac{(1-a)x}{x^{2}} \to \pm\infty

. Para que exista límite finito:

1 - a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1

Segunda condición: el valor del límite. Con

a = 1

N(x) = \left(1 + \frac{1}{2}\right)x^{2} + O\!\left(x^{3}\right) = \frac{3}{2}x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)

\lim_{x\to 0}\frac{\frac{3}{2}x^{2} + O(x^{3})}{x^{2} + O(x^{3})} = \frac{3}{2}

Solución.

a = 1, \qquad \lim_{x\to 0}\left(\frac{x+1}{\ln(x+1)} - \frac{1}{x}\right) = \frac{3}{2}

Comprobación numérica. Para

x = 10^{-3}

\frac{1{,}001}{\ln(1{,}001)} - \frac{1}{0{,}001} \approx 1001{,}5004 - 1000 = 1{,}5004

muy cerca de

\frac{3}{2}

, como debe ser.

(Y para ver que $a=1$ es imprescindible: con $a \neq 1$ la expresión se comporta como $\frac{1-a}{x}$ , cuyos límites laterales son infinitos de signos opuestos. Por ejemplo, con $a = 0$ tiende a $+\infty$ por la derecha y a $-\infty$ por la izquierda, así que el límite ni siquiera existe.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Ante un $\infty - \infty$ , une siempre las dos fracciones antes de hacer nada. Los desarrollos de Taylor (o L'Hôpital) solo se pueden aplicar a un cociente, y hasta que no tienes uno solo no hay indeterminación que atacar.

El enunciado dice "sabiendo que es finito": eso no es un comentario, es la ecuación que despeja $a$ . Compara el orden del numerador con el del denominador y anula el coeficiente que sobra; sin esa lectura, el problema parece tener una incógnita de más.