Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2022 · Julio

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Calcula

a

sabiendo que

\lim_{x \to +\infty} \frac{a\,x}{\bigl(\ln x\bigr)^{3} + 2x} = 1

(donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lim_{x\to+\infty}\frac{a\,x}{(\ln x)^{3} + 2x} = \frac{a}{2} = 1 \;\Longrightarrow\; a = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una indeterminación

\dfrac{\infty}{\infty}

, y la clave está en la jerarquía de infinitos: el logaritmo, aunque esté elevado al cubo, crece más despacio que cualquier potencia de

x

. Por eso el sumando

(\ln x)^{3}

es despreciable frente a

2x

y el límite se reduce a

\dfrac{ax}{2x} = \dfrac{a}{2}

.

Se puede razonar de dos maneras, y las dos valen:

Dividiendo numerador y denominador entre $x$ , y usando que $\dfrac{(\ln x)^{3}}{x} \to 0$ .
Con L'Hôpital, que aquí hay que aplicar tres veces para deshacer el cubo del logaritmo.

Desarrollo

Método 1: dividir entre $x$ .

\frac{a\,x}{(\ln x)^{3} + 2x} = \frac{a}{\dfrac{(\ln x)^{3}}{x} + 2}

El límite del denominador depende solo de

\lim_{x\to+\infty} \frac{(\ln x)^{3}}{x} = 0

porque el logaritmo es un infinito de orden inferior a cualquier potencia positiva de

x

. Por tanto

\lim_{x \to +\infty} \frac{a\,x}{(\ln x)^{3} + 2x} = \frac{a}{0 + 2} = \frac{a}{2}

Ecuación.

\frac{a}{2} = 1 \;\Longrightarrow\; a = 2

Método 2: L'Hôpital, para justificar el límite auxiliar. Aplicando la regla a

\dfrac{(\ln x)^{3}}{x}

(indeterminación

\infty/\infty

\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^{3}}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{3(\ln x)^{2}\cdot\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x\to+\infty}\frac{3(\ln x)^{2}}{x}

= \lim_{x\to+\infty}\frac{6\ln x}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{6}{x} = 0

Cada aplicación baja en uno el exponente del logaritmo; a la tercera desaparece del todo.

Comprobación numérica con

a = 2

: para

x = 10^{6}

(\ln x)^{3} \approx 2\,637

frente a

2x = 2\cdot 10^{6}

, así que el cociente vale

\approx 0{,}9987

, ya muy cerca de

1

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Consejo

No te dejes impresionar por el exponente: $(\ln x)^{3}$ sigue siendo un infinito más lento que $x$ . La jerarquía es logaritmos $\ll$ potencias $\ll$ exponenciales, y ninguna potencia del logaritmo la altera.

Si tiras de L'Hôpital directamente sobre la expresión completa, funciona, pero hay que aplicarlo tres veces y las derivadas se enredan. Dividir entre $x$ y apoyarte en un único límite auxiliar es más corto y mucho más difícil de estropear.