Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2011 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Considera las funciones

f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definidas por

f(x) = 6x-x^{2} \qquad \text{y} \qquad g(x) = x^{2}-2x

a) [0,75 puntos] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

b) [1,75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de

f

g

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = x(6-x): \ \text{cortes } 0, 6, \ \text{vértice } (3,9) \ \text{(ramas abajo)}\;}

\boxed{\;g(x) = x(x-2): \ \text{cortes } 0, 2, \ \text{vértice } (1,-1) \ \text{(ramas arriba)}\;}

\boxed{\;f = g: \ 2x^{2}-8x = 0 \Rightarrow x = 0, \ x = 4; \quad \text{cortes } (0,0), (4,8)\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{4}\bigl[8x-2x^{2}\bigr]dx = 64-\frac{128}{3} = \frac{64}{3}\approx21{,}33\ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos parábolas "enfrentadas":

f

tiene ramas hacia abajo y

g

hacia arriba, así que encierran una región tipo lente.

Los cortes salen de $f(x) = g(x)$ , una ecuación de segundo grado.
Para el área se integra la diferencia entre los cortes, poniendo arriba la que está por encima (se decide evaluando en un punto interior).

Desarrollo

a) Esbozo de las gráficas.

f(x) = 6x-x^{2} = x\,(6-x)

Parábola de ramas hacia abajo, con cortes en

x = 0

x = 6

, y vértice en

x = 3

\;f(3) = 9

g(x) = x^{2}-2x = x\,(x-2)

Parábola de ramas hacia arriba, con cortes en

x = 0

x = 2

, y vértice en

x = 1

\;g(1) = -1

.

Los puntos de corte entre ellas.

6x-x^{2} = x^{2}-2x \;\Longrightarrow\; 0 = 2x^{2}-8x = 2x\,(x-4)

x = 0 \qquad \text{o} \qquad x = 4

f(0) = 0 \qquad f(4) = 24-16 = 8

\text{Cortes: } (0,\,0) \qquad \text{y} \qquad (4,\,8)

b) El área. ¿Quién va arriba? En

x = 1

f(1) = 5 \qquad > \qquad g(1) = -1

La parábola hacia abajo,

f

, está por encima en todo

[0,4]

A = \int_{0}^{4}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]dx = \int_{0}^{4}\Bigl[(6x-x^{2})-(x^{2}-2x)\Bigr]dx

= \int_{0}^{4}\bigl[8x-2x^{2}\bigr]dx = \left[4x^{2}-\frac{2x^{3}}{3}\right]_{0}^{4}

= 4\cdot16-\frac{2\cdot64}{3} = 64-\frac{128}{3} = \frac{192-128}{3} = \frac{64}{3}

A = \frac{64}{3} \approx 21{,}33 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para esbozar una parábola bastan tres datos: orientación (signo de $x^{2}$ ), cortes con el eje $X$ (factoriza) y vértice. Con eso el dibujo del apartado a) está resuelto.

La diferencia $f-g = 8x-2x^{2}$ se simplifica antes de integrar: es una sola parábola, mucho más cómoda que integrar por separado.

Fíjate en que el intervalo de integración es $[0,4]$ , no $[0,6]$ : los límites son los cortes entre las dos curvas, no los cortes con el eje.