Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2024 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Sea la función derivable

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \begin{cases} a\,e^{-x} + b\ln(1-x) & \text{si } x < 0 \\[6pt] x + \ln(1+x) & \text{si } x \geq 0 \end{cases}

donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano.

a) [1,5 puntos] Determina

a

b

.

b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad a = 0, \qquad b = -2\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{tangente: } y = 2x; \qquad \text{normal: } y = -\frac{x}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El dato es que

f

es derivable, y eso encierra dos condiciones en

x=0

, que hay que usar en este orden:

Continuidad (derivable $\Rightarrow$ continua): el límite por la izquierda debe valer $f(0)$ .
Coincidencia de las derivadas laterales: $f'(0^{-}) = f'(0^{+})$ .

Dos condiciones, dos parámetros. Y conviene fijarse en que la primera solo involucra a

a

(porque

\ln(1-0) = 0

), así que sale de inmediato y simplifica la segunda.

En b) todo está ya calculado:

f(0)

f'(0)

salen de la rama de la derecha, que no tiene parámetros.

Desarrollo

Paso 1: continuidad en $x=0$ . Por la derecha,

f(0) = 0 + \ln(1+0) = 0

Por la izquierda, usando

\ln(1-0) = \ln 1 = 0

\lim_{x\to 0^{-}} \bigl[a\,e^{-x} + b\ln(1-x)\bigr] = a\,e^{0} + b\cdot 0 = a

Igualando:

a = 0

Paso 2: derivadas laterales. Derivamos cada rama (cuidado con la cadena en

\ln(1-x)

, que aporta un

-1

x < 0: \quad f'(x) = -a\,e^{-x} - \frac{b}{1-x} \;\Longrightarrow\; f'(0^{-}) = -a - b

x > 0: \quad f'(x) = 1 + \frac{1}{1+x} \;\Longrightarrow\; f'(0^{+}) = 1 + 1 = 2

Para que

f

sea derivable en

0

-a - b = 2

y como

a = 0

, resulta

b = -2

La función queda

f(x) = \begin{cases} -2\ln(1-x) & \text{si } x < 0 \\[4pt] x + \ln(1+x) & \text{si } x \geq 0 \end{cases}

Comprobación: por la izquierda

f'(x) = \dfrac{2}{1-x}

, luego

f'(0^{-}) = 2 = f'(0^{+})

✓, y

\lim_{x\to 0^{-}} -2\ln(1-x) = 0 = f(0)

✓.

b) Tangente y normal en $x=0$ . El punto es

(0, f(0)) = (0,0)

y la pendiente de la tangente es

f'(0) = 2

.

Recta tangente:

y - 0 = 2\,(x - 0) \;\Longrightarrow\; y = 2x

Recta normal, de pendiente

-\dfrac{1}{2}

y - 0 = -\frac{1}{2}\,(x-0) \;\Longrightarrow\; y = -\frac{x}{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Derivable" incluye "continua": son dos condiciones y hacen falta las dos, porque hay dos parámetros. Si solo igualas las derivadas laterales te falta una ecuación y el sistema queda indeterminado.

Y al derivar $\ln(1-x)$ , la regla de la cadena aporta un signo menos: $\frac{d}{dx}\ln(1-x) = \frac{-1}{1-x}$ . Ese signo es exactamente lo que decide si $b$ sale $-2$ o $+2$ , así que vale la pena escribirlo despacio.