Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2015 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int \frac{dx}{(x-2)\sqrt{x+2}} \qquad \left(\text{Sugerencia}: \sqrt{x+2} = t\right)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = \sqrt{x+2}: \quad x = t^{2}-2, \quad x-2 = t^{2}-4, \quad dx = 2t\,dt\;}

\boxed{\;\int\frac{2t\,dt}{(t^{2}-4)\,t} = \int\frac{2\,dt}{t^{2}-4} = \int\left[\frac{1}{2(t-2)}-\frac{1}{2(t+2)}\right]dt\;}

\boxed{\;= \frac12\ln\left\lvert\frac{t-2}{t+2}\right\rvert+C = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+2}+2}\right\rvert+C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral irracional con la sustitución sugerida. Como siempre en los cambios de variable, hay que traducir las tres cosas: la raíz, el factor

x-2

y el

dx

t = \sqrt{x+2} \;\Longrightarrow\; t^{2} = x+2 \;\Longrightarrow\; x = t^{2}-2 \;\Longrightarrow\; dx = 2t\,dt

Y el detalle bonito:

x-2 = \bigl(t^{2}-2\bigr)-2 = t^{2}-4

que es una diferencia de cuadrados, así que tras el cambio queda una racional con dos raíces reales simples.

Desarrollo

El cambio de variable.

t = \sqrt{x+2} \;\;(t>0) \;\Longrightarrow\; t^{2} = x+2, \quad x-2 = t^{2}-4, \quad dx = 2t\,dt

Sustituyendo.

\int\frac{dx}{(x-2)\sqrt{x+2}} = \int\frac{2t\,dt}{\bigl(t^{2}-4\bigr)\,t} = \int\frac{2\,dt}{t^{2}-4}

(El factor $t$ del numerador se cancela con la raíz del denominador: por eso funciona el cambio.)

Fracciones simples. Como

t^{2}-4 = (t-2)(t+2)

\frac{2}{(t-2)(t+2)} = \frac{A}{t-2}+\frac{B}{t+2} \;\Longrightarrow\; 2 = A(t+2)+B(t-2)

t = 2: \quad 2 = 4A \;\Longrightarrow\; A = \frac12 \qquad t = -2: \quad 2 = -4B \;\Longrightarrow\; B = -\frac12

Integrando.

\int\left[\frac{1}{2(t-2)}-\frac{1}{2(t+2)}\right]dt = \frac12\ln\lvert t-2\rvert-\frac12\ln\lvert t+2\rvert+C = \frac12\ln\left\lvert\frac{t-2}{t+2}\right\rvert+C

Deshaciendo el cambio.

\int\frac{dx}{(x-2)\sqrt{x+2}} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+2}+2}\right\rvert+C

Comprobación (derivando). Con

u = \sqrt{x+2}

\;u' = \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} = \dfrac{1}{2u}

\frac{d}{dx}\left[\frac12\ln\frac{u-2}{u+2}\right] = \frac12\left(\frac{u'}{u-2}-\frac{u'}{u+2}\right) = \frac{u'}{2}\cdot\frac{4}{u^{2}-4} = \frac{1}{2u}\cdot\frac{2}{u^{2}-4} = \frac{1}{u\,(u^{2}-4)}

y como

u = \sqrt{x+2}

u^{2}-4 = x-2

, esto es exactamente el integrando

\;\checkmark

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Consejo

En el cambio hay que traducir todo: la raíz ( $t$ ), el factor $x-2$ (que se convierte en $t^{2}-4$ ) y el diferencial ( $dx = 2t\,dt$ ). Olvidar cualquiera de los tres arruina la integral.

Ese $t$ del $dx$ es justo el que cancela la raíz del denominador. Si tras el cambio te quedan raíces, revisa el $dx$ : casi seguro está ahí el fallo.

Junta los dos logaritmos en uno solo, $\frac12\ln\left\lvert\frac{t-2}{t+2}\right\rvert$ : la respuesta queda más compacta y es más fácil comprobarla derivando. Y no olvides deshacer el cambio.