Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2015 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Queremos fabricar una caja con base cuadrada, de tal manera que la altura de la caja más el perímetro de la base sumen

60

cm. Determina sus dimensiones para que contenga el mayor volumen posible.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;h+4x = 60 \;\Longrightarrow\; h = 60-4x, \qquad 0<x<15\;}

\boxed{\;V(x) = x^{2}(60-4x) = 60x^{2}-4x^{3}\;}

\boxed{\;V'(x) = 12x\,(10-x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 10 \ (\text{se descarta } x=0)\;}

\boxed{\;\text{Base } 10\times10 \ \text{cm}, \ h = 20 \ \text{cm}, \ V_{\max} = 2000 \ \text{cm}^{3}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La restricción está enunciada con palabras y hay que traducirla bien:

Base cuadrada de lado $x$ $\Rightarrow$ perímetro de la base $= 4x$ .
Altura $h$ .

h+4x = 60 \;\Longrightarrow\; h = 60-4x

El volumen es

V = x^{2}h

, que al sustituir queda una cúbica en

x

. Se maximiza derivando, y hay que descartar la raíz $x=0$ , que no corresponde a ninguna caja real.

También conviene fijar el dominio:

x>0

h>0

obligan a

0<x<15

Desarrollo

Variables y restricción. Lado de la base

x

y altura

h

(en cm):

h+4x = 60 \;\Longrightarrow\; h = 60-4x

\text{Dominio: } x>0 \ \text{ y } \ h = 60-4x>0 \;\Longrightarrow\; 0<x<15

Función a maximizar.

V(x) = x^{2}h = x^{2}\,(60-4x) = 60x^{2}-4x^{3}

Derivada y puntos críticos.

V'(x) = 120x-12x^{2} = 12x\,(10-x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \quad \text{o} \quad x = 10

x = 0 \ \text{se descarta} \ (\text{no hay caja}) \;\Longrightarrow\; x = 10 \ \text{cm}

Es máximo.

V''(x) = 120-24x \;\Longrightarrow\; V''(10) = 120-240 = -120 < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo}

Las dimensiones.

h = 60-40 = 20 \ \text{cm}

\textbf{Base } 10\times10 \ \text{cm}, \qquad \textbf{altura } 20 \ \text{cm}

El volumen máximo.

V = 10^{2}\cdot 20 = 2000 \ \text{cm}^{3}

Comprobación de la restricción.

\;20+4\cdot10 = 20+40 = 60

\;\checkmark

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Consejo

"El perímetro de la base" es $4x$ , no $x$ ni el área $x^{2}$ . Traducir mal esa frase cambia la restricción y con ella todo el problema.

La derivada tiene dos raíces. Descartar $x=0$ hay que justificarlo (no hay caja con base nula), y el máximo real es $x=10$ : compruébalo con $V''<0$ .

Delimita el dominio $0<x<15$ desde el principio: además de ser buena práctica, deja claro que $x=10$ es admisible y que en los extremos del intervalo el volumen es $0$ .