Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2017 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2.

a) [2 puntos] Halla

\int\frac{x^{2}}{\bigl(1+x^{3}\bigr)^{3/2}}\,dx

(sugerencia: $t = 1 + x^{3}$ ).

b) [0,5 puntos] Halla la primitiva cuya gráfica pasa por

(2,0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = 1+x^{3},\; x^{2}dx = \frac{dt}{3} \;\Longrightarrow\; \frac13\int t^{-3/2}dt = -\frac{2}{3\sqrt t}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \int\frac{x^{2}}{(1+x^{3})^{3/2}}dx = -\frac{2}{3\sqrt{1+x^{3}}} + C\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad F(2) = -\tfrac29 + C = 0 \Rightarrow C = \tfrac29: \quad F(x) = -\frac{2}{3\sqrt{1+x^{3}}} + \frac{2}{9}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La integral es casi inmediata: el numerador

x^{2}

es, salvo un factor

3

, la derivada del interior

1+x^{3}

. Con el cambio sugerido,

t = 1+x^{3} \;\Longrightarrow\; dt = 3x^{2}dx \;\Longrightarrow\; x^{2}dx = \frac{dt}{3}

todo se reduce a

\displaystyle\frac13\int t^{-3/2}dt

, una potencia de manual.

En b) basta imponer

F(2) = 0

Desarrollo

a) El cambio de variable.

t = 1 + x^{3}, \qquad dt = 3x^{2}\,dx \;\Longrightarrow\; x^{2}\,dx = \frac{dt}{3}

\int\frac{x^{2}}{(1+x^{3})^{3/2}}\,dx = \frac{1}{3}\int t^{-3/2}\,dt

La potencia.

\int t^{-3/2}dt = \frac{t^{-1/2}}{-1/2} = -\frac{2}{\sqrt{t}}

\frac13\int t^{-3/2}dt = -\frac{2}{3\sqrt{t}}

Deshaciendo el cambio.

\int\frac{x^{2}}{(1+x^{3})^{3/2}}\,dx = -\frac{2}{3\sqrt{1+x^{3}}} + C

Comprobación (derivando):

\frac{d}{dx}\left[-\frac23\bigl(1+x^{3}\bigr)^{-1/2}\right] = -\frac23\cdot\left(-\frac12\right)\bigl(1+x^{3}\bigr)^{-3/2}\cdot 3x^{2} = \frac{x^{2}}{(1+x^{3})^{3/2}} \quad \checkmark

b) La primitiva por $(2,0)$ . Imponemos

F(2) = 0

, con

1 + 2^{3} = 9

F(2) = -\frac{2}{3\sqrt9} + C = -\frac{2}{9} + C = 0 \;\Longrightarrow\; C = \frac{2}{9}

F(x) = -\frac{2}{3\sqrt{1+x^{3}}} + \frac{2}{9}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Reconoce el patrón $\displaystyle\int g'(x)\,\bigl[g(x)\bigr]^{n}dx$ : aquí $x^{2}$ es casi la derivada de $1+x^{3}$ (falta el factor $3$ ), así que la integral es inmediata salvo una constante. No hace falta ni descomponer ni integrar por partes.

Al integrar $t^{-3/2}$ , el exponente sube a $-\tfrac12$ y hay que dividir entre $-\tfrac12$ , es decir, multiplicar por $-2$ . Ese signo menos es el que más se pierde.

Si en b) sustituyes en la primitiva sin deshacer el cambio, cuidado con el valor de $t$ : con $x=2$ es $t = 9$ , no $t=2$ . Lo más seguro es volver siempre a la variable $x$ antes de imponer la condición.