Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2016 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] De la función

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = a\,e^{x} - b\,x

, donde

a,b\in\mathbb{R}

, se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en

x = 0

y que

\int_{0}^{1} f(x)\,dx = e - \frac{3}{2}

Halla los valores de

a

b

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(0) = a - b = 0 \;\Longrightarrow\; b = a\;}

\boxed{\;\int_{0}^{1}\bigl(ae^{x}-bx\bigr)dx = \left[ae^{x}-\frac{bx^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = ae - a - \frac b2 = a\left(e-\frac32\right)\;}

\boxed{\;a\left(e-\tfrac32\right) = e-\tfrac32 \;\Longrightarrow\; a = 1, \quad b = 1 \quad \left(f(x) = e^{x}-x\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos datos, dos incógnitas: hay que traducirlos a dos ecuaciones.

"Tangente horizontal en $x=0$ " $\Rightarrow f'(0) = 0$ .
La integral definida $\Rightarrow$ se calcula la primitiva en función de $a$ y $b$ , se aplica Barrow y se iguala al dato.

La primera ecuación es muy sencilla y conviene usarla antes de la segunda: reduce el problema a una sola incógnita.

Desarrollo

Primera condición: tangente horizontal en $x=0$ .

f'(x) = a\,e^{x} - b \;\Longrightarrow\; f'(0) = a\,e^{0} - b = a - b = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{b = a}

Segunda condición: la integral. Primitiva de

f

\int \bigl(a\,e^{x} - b\,x\bigr)dx = a\,e^{x} - b\,\frac{x^{2}}{2}

Regla de Barrow entre

0

1

\int_{0}^{1} f = \left[a\,e^{x} - \frac{b\,x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \left(a\,e - \frac b2\right) - \bigl(a - 0\bigr) = a\,e - a - \frac b2

Sustituyendo $b = a$ .

a\,e - a - \frac a2 = a\left(e - \frac32\right)

Igualando al dato.

a\left(e-\frac32\right) = e - \frac32 \;\Longrightarrow\; a = 1

(Se puede dividir porque $e - \frac32 \approx 1{,}218 \neq 0$ .)

a = 1, \qquad b = 1

Comprobación. Con

f(x) = e^{x} - x

f'(x) = e^{x}-1 \;\Longrightarrow\; f'(0) = 1-1 = 0 \quad \checkmark

\int_{0}^{1}\bigl(e^{x}-x\bigr)dx = \left[e^{x} - \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \left(e - \frac12\right) - 1 = e - \frac32 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Tangente horizontal en $x=0$ " significa $f'(0)=0$ , no $f(0)=0$ . Es la traducción que más se confunde, y aquí decide todo el problema.

Usa la condición sencilla primero: con $b=a$ , la integral queda en una sola incógnita y el despeje es inmediato. Si sustituyes al final acabas con un sistema más engorroso.

Al evaluar en $x=0$ no olvides que $e^{0}=1$ , no $0$ . Ese término $-a$ del extremo inferior es imprescindible para que salga $a\left(e-\frac32\right)$ .