Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2011 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sean

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

las funciones definidas por

f(x) = 4-3|x| \qquad \text{y} \qquad g(x) = x^{2}

a) [1 punto] Esboza las gráficas de

f

g

. Determina sus puntos de corte.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de

f

g

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = \begin{cases} 4-3x & x\geq0 \\ 4+3x & x<0\end{cases}\;}

\boxed{\;x\geq0: \ 4-3x = x^{2} \Rightarrow x^{2}+3x-4 = 0 \Rightarrow x = 1 \ (x=-4 \text{ no vale})\;}

\boxed{\;\text{Cortes } (\pm1,\,1); \ \text{arriba va } f: \ f(0) = 4 > g(0) = 0\;}

\boxed{\;A = 2\int_{0}^{1}\bigl[4-3x-x^{2}\bigr]dx = 2\cdot\frac{13}{6} = \frac{13}{3}\approx4{,}33\ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El valor absoluto convierte

f

en una "uve invertida": dos semirrectas que se juntan en

(0,4)

f(x) = \begin{cases} 4-3x & \text{si } x\geq0 \\ 4+3x & \text{si } x<0\end{cases}

Como ambas funciones son pares (

f(-x) = f(x)

g(-x) = g(x)

), todo es simétrico respecto del eje $Y$ : basta trabajar en

x\geq0

y duplicar el área.

Desarrollo

a) Las gráficas.

$g(x) = x^{2}$ : parábola con vértice en el origen, ramas hacia arriba.
$f(x) = 4-3|x|$ : dos semirrectas que salen de $(0,4)$ con pendientes $-3$ (a la derecha) y $+3$ (a la izquierda); corta al eje $X$ en $x = \pm\frac43$ .

Los cortes. Para

x\geq0

(

|x| = x

4-3x = x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2}+3x-4 = 0 \;\Longrightarrow\; (x+4)(x-1) = 0

x = 1 \qquad \text{o} \qquad x = -4 \ \text{(descartada: no es } \geq0)

Por simetría, el otro corte está en

x = -1

\text{Cortes: } (-1,\,1) \qquad \text{y} \qquad (1,\,1)

b) El área. ¿Quién va arriba? En

x = 0

f(0) = 4 \qquad > \qquad g(0) = 0

La "uve invertida" está por encima en todo

[-1,1]

A = \int_{-1}^{1}\Bigl[\bigl(4-3|x|\bigr)-x^{2}\Bigr]dx

Usando la simetría (el integrando es par):

A = 2\int_{0}^{1}\bigl[4-3x-x^{2}\bigr]dx = 2\left[4x-\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}

= 2\left(4-\frac32-\frac13\right) = 2\cdot\frac{24-9-2}{6} = 2\cdot\frac{13}{6} = \frac{13}{3}

A = \frac{13}{3} \approx 4{,}33 \ \text{u}^{2}

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Consejo

Con valor absoluto, parte la función en dos tramos antes de resolver la ecuación. Al hacer $|x| = x$ para $x\geq0$ aparece la solución $x=-4$ , que hay que descartar por estar fuera del tramo.

Aprovecha la paridad: si $f$ y $g$ son pares, la región es simétrica y basta integrar de $0$ a $1$ y multiplicar por $2$ . Menos cuentas, menos errores de signo.

Alternativa válida (y más larga): integrar $\int_{-1}^{0}(4+3x-x^{2})dx+\int_{0}^{1}(4-3x-x^{2})dx$ . Lo que no vale es integrar $4-3x$ en todo $[-1,1]$ ignorando el valor absoluto.