Integrales

a) Puntos de intersección.

Caso $|x| \geq 1$, donde $g(x) = x^{2}-1$:$$-x^{2} + 7 = x^{2} - 1 \;\Longrightarrow\; 2x^{2} = 8 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; x = \pm 2$$Ambas cumplen $|x| \geq 1$, luego son válidas. Sus ordenadas: $f(\pm 2) = -4 + 7 = 3$.

Caso $|x| < 1$, donde $g(x) = 1 - x^{2}$:$$-x^{2} + 7 = 1 - x^{2} \;\Longrightarrow\; 7 = 1$$Absurdo: en ese tramo las gráficas no se cortan (la parábola de $f$ va siempre $6$ unidades por encima).

Los puntos de intersección son$$(-2,\ 3) \qquad\text{y}\qquad (2,\ 3)$$Esbozo. $f$ es una parábola cóncava hacia abajo con vértice $(0,7)$ y cortes con el eje $OX$ en $\pm\sqrt{7} \approx \pm 2{,}65$. La gráfica de $g = |x^{2}-1|$ es la parábola $x^{2}-1$ con el trozo central ($-1 < x < 1$) reflejado hacia arriba: toca el eje en $x=-1$ y $x=1$, sube hasta el pico $(0,1)$ entre ellos y crece hacia arriba fuera. El recinto acotado es la región comprendida entre las dos curvas desde $x=-2$ hasta $x=2$, con $f$ siempre por encima (en $x=0$: $f=7$ frente a $g=1$), simétrica respecto del eje $OY$ y cerrada en los dos vértices $(\pm 2, 3)$.

b) Área. Como $f$ está por encima en todo el recinto, $A = \int_{-2}^{2}\bigl(f - g\bigr)dx$, pero hay que partir donde cambia $g$. Usando la simetría par de ambas funciones,$$A = 2\left[\int_{0}^{1}\bigl(f - g\bigr)dx + \int_{1}^{2}\bigl(f-g\bigr)dx\right]$$Tramo $[0,1]$, con $g = 1-x^{2}$:$$f - g = \bigl(-x^{2}+7\bigr) - \bigl(1 - x^{2}\bigr) = 6$$$$\int_{0}^{1} 6\,dx = 6$$(La diferencia es constante: el recinto central es un rectángulo de altura $6$. Un buen atajo si se detecta.)

Tramo $[1,2]$, con $g = x^{2}-1$:$$f - g = \bigl(-x^{2}+7\bigr) - \bigl(x^{2}-1\bigr) = 8 - 2x^{2}$$$$\int_{1}^{2}\bigl(8 - 2x^{2}\bigr)dx = \left[8x - \frac{2x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \left(16 - \frac{16}{3}\right) - \left(8 - \frac{2}{3}\right) = \frac{32}{3} - \frac{22}{3} = \frac{10}{3}$$Total:$$A = 2\left(6 + \frac{10}{3}\right) = 2\cdot\frac{28}{3} = \frac{56}{3} \approx 18{,}67 \ \text{unidades cuadradas}$$