Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2023 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Considera las funciones

f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definidas por

f(x) = \left|x^{2} - 1\right|

g(x) = x + 5

.

a) [1,25 puntos] Calcula los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que determinan.

b) [1,25 puntos] Determina el área del recinto anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad (-2, 3) \quad \text{y} \quad (3, 8)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \frac{13}{6} + \frac{26}{3} + \frac{22}{3} = \frac{109}{6} \approx 18{,}17 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El valor absoluto obliga a partir $f$ en tres trozos, según el signo de

x^{2}-1

f(x) = \begin{cases} x^{2} - 1 & \text{si } |x| \geq 1 \\ 1 - x^{2} & \text{si } |x| < 1 \end{cases}

Los cortes con la recta hay que buscarlos en cada trozo por separado, comprobando después que las soluciones caen dentro del trozo donde se obtuvieron. Y la integral del área hay que partirla en

x = -1

x = 1

, aunque la recta esté por encima en todo el recinto, porque la fórmula de

f

cambia ahí.

Desarrollo

a) Puntos de corte.

Caso $|x| \geq 1$ (es decir,

x \leq -1

x \geq 1

x^{2} - 1 = x + 5 \;\Longrightarrow\; x^{2} - x - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 3 \;\text{ o }\; x = -2

Las dos cumplen

|x| \geq 1

: válidas.

Caso $|x| < 1$ :

1 - x^{2} = x + 5 \;\Longrightarrow\; x^{2} + x + 4 = 0

Discriminante

1 - 16 = -15 < 0

: no hay soluciones reales. En el trozo central las gráficas no se cortan.

Los puntos de corte son, por tanto,

(-2, 3) \qquad \text{y} \qquad (3, 8)

El recinto. La gráfica de

f

es la parábola

y = x^{2}-1

con el trozo comprendido entre

-1

1

reflejado hacia arriba (forma de "W" achatada, con mínimos en

(\pm 1, 0)

y un máximo local en

(0,1)

). La recta

y = x+5

pasa por encima de toda esa figura entre

x=-2

x=3

: por ejemplo en

x=0

g(0)=5

frente a

f(0)=1

.

b) Área. Como la recta va por encima,

A = \int_{-2}^{3}\bigl(g(x) - f(x)\bigr)dx

, partiendo en

-1

1

.

Tramo $[-2,-1]$ , con

f = x^{2}-1

\int_{-2}^{-1}\bigl(x + 5 - x^{2} + 1\bigr)dx = \int_{-2}^{-1}\bigl(-x^{2} + x + 6\bigr)dx = \left[-\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 6x\right]_{-2}^{-1}

= \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 6\right) - \left(\frac{8}{3} + 2 - 12\right) = -\frac{31}{6} + \frac{22}{3} = -\frac{31}{6} + \frac{44}{6} = \frac{13}{6}

Tramo $[-1,1]$ , con

f = 1-x^{2}

\int_{-1}^{1}\bigl(x + 5 - 1 + x^{2}\bigr)dx = \int_{-1}^{1}\bigl(x^{2} + x + 4\bigr)dx = \left[\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 4x\right]_{-1}^{1}

= \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 4\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 4\right) = \frac{29}{6} + \frac{23}{6} = \frac{52}{6} = \frac{26}{3}

Tramo $[1,3]$ , con

f = x^{2}-1

\int_{1}^{3}\bigl(-x^{2} + x + 6\bigr)dx = \left[-\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 6x\right]_{1}^{3} = \left(-9 + \frac{9}{2} + 18\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 6\right)

= \frac{27}{2} - \frac{37}{6} = \frac{81}{6} - \frac{37}{6} = \frac{44}{6} = \frac{22}{3}

Área total.

A = \frac{13}{6} + \frac{26}{3} + \frac{22}{3} = \frac{13}{6} + \frac{52}{6} + \frac{44}{6} = \frac{109}{6} \approx 18{,}17 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al resolver la ecuación en cada trozo, verifica que la solución pertenece al trozo. Aquí la segunda ecuación no tiene soluciones reales y no pasa nada, pero si te olvidaras del valor absoluto y resolvieras solo $x^{2}-1 = x+5$ podrías dar por buena una raíz que en realidad está en la zona reflejada, y el recinto saldría mal.

Y aunque la recta esté por encima en todo $[-2,3]$ , hay que partir la integral en $-1$ y $1$ : la función que se resta cambia de fórmula ahí. Un solo cálculo con $x^{2}-1$ de $-2$ a $3$ da $125/6$ , un valor plausible pero equivocado.