Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2020 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 2. Sea

f

la función definida por

f(x) = \frac{-x^{3} + 2x - 3}{x^{2} - x}

para

x \neq 0

x \neq 1

. Halla la primitiva de

f

cuya gráfica pasa por el punto

\bigl(2,\, 3\ln 2\bigr)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = -x - 1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x-1}\;}

\boxed{\;F(x) = -\frac{x^{2}}{2} - x + 3\ln|x| - 2\ln|x-1| + 4\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral racional con el numerador de grado mayor que el denominador, así que el guion es el de siempre:

Dividir los polinomios (sin este paso las fracciones simples no se aplican).
Factorizar el denominador: $x^{2}-x = x(x-1)$ , dos raíces reales simples.
Descomponer el resto y aplicar el método de los valores particulares.

El punto

(2, 3\ln 2)

está elegido con intención: en

x = 2

se cumple

\ln|2-1| = \ln 1 = 0

, así que uno de los dos logaritmos desaparece y la constante sale de cabeza.

Desarrollo

División. Dividiendo

-x^{3} + 2x - 3

entre

x^{2} - x

-x^{3} + 2x - 3 = \bigl(x^{2}-x\bigr)\bigl(-x - 1\bigr) + \bigl(x - 3\bigr)

(Comprobación: $(x^{2}-x)(-x-1) = -x^{3} - x^{2} + x^{2} + x = -x^{3} + x$ , y sumando $x-3$ queda $-x^{3} + 2x - 3$ .)

f(x) = -x - 1 + \frac{x - 3}{x\,(x-1)}

Fracciones simples.

\frac{x-3}{x\,(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} \;\Longrightarrow\; x - 3 = A\,(x-1) + B\,x

Con $x = 0$ : $\;-3 = -A \Longrightarrow A = 3$
Con $x = 1$ : $\;-2 = B$

f(x) = -x - 1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x-1}

Integración.

F(x) = -\frac{x^{2}}{2} - x + 3\ln|x| - 2\ln|x-1| + C

Constante con el punto $\bigl(2, 3\ln 2\bigr)$ .

F(2) = -2 - 2 + 3\ln 2 - 2\ln 1 + C = -4 + 3\ln 2 + C

-4 + 3\ln 2 + C = 3\ln 2 \;\Longrightarrow\; C = 4

F(x) = -\frac{x^{2}}{2} - x + 3\ln|x| - 2\ln|x-1| + 4

Comprobación. Derivando:

F'(x) = -x - 1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x-1} = \frac{-x(x^{2}-x) - (x^{2}-x) + 3(x-1) - 2x}{x(x-1)}

y el numerador es

-x^{3} + x^{2} - x^{2} + x + 3x - 3 - 2x = -x^{3} + 2x - 3

. Correcto.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Divide primero. Con el numerador de grado $3$ y el denominador de grado $2$ , saltar directamente a las fracciones simples da un sistema incompatible. La división separa la parte polinómica de la racional propia, que es la única que se descompone.

Y no olvides los valores absolutos de los logaritmos ni la constante. El método de dar a $x$ el valor de cada raíz ( $x=0$ y $x=1$ ) te ahorra plantear e identificar coeficientes, que es donde más tiempo se pierde.