Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2009 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Considera la curva de ecuación

\;y = x^{3}-3x

.

a) [0,5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa

x = -1

.

b) [2 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta

\;y = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;y(-1) = 2, \ y'(-1) = 3-3 = 0 \;\Longrightarrow\; \text{tangente } y = 2\;}

\boxed{\;x^{3}-3x-2 = (x+1)^{2}(x-2): \ x = -1 \text{ (doble)}, \ x = 2\;}

\boxed{\;A = \int_{-1}^{2}\bigl[2-x^{3}+3x\bigr]dx = \left[2x-\frac{x^{4}}{4}+\frac{3x^{2}}{2}\right]_{-1}^{2}\;}

\boxed{\;A = 6-\left(-\tfrac34\right) = \frac{27}{4} = 6{,}75 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados están conectados: la tangente de a) resulta ser la recta horizontal $y = 2$ de b), porque

x=-1

es un máximo relativo de la cúbica.

Por eso al cortar la curva con

y=2

aparece una raíz doble:

x^{3}-3x-2 = (x+1)^{2}\,(x-2)

y el recinto queda acotado entre

x=-1

(tangencia) y

x=2

(cruce).

Desarrollo

a) La recta tangente en $x = -1$ .

y(-1) = (-1)^{3}-3(-1) = -1+3 = 2 \;\Longrightarrow\; \text{punto } (-1,\,2)

y'(x) = 3x^{2}-3 \;\Longrightarrow\; y'(-1) = 3-3 = 0

Tangente horizontal:

y = 2

(Es la recta del apartado b): $x=-1$ es un máximo relativo de la curva.)

b) El área. Los cortes de la curva con

y=2

x^{3}-3x = 2 \;\Longrightarrow\; x^{3}-3x-2 = 0

x = -1

es raíz. Dividiendo:

x^{3}-3x-2 = (x+1)\bigl(x^{2}-x-2\bigr) = (x+1)(x+1)(x-2) = (x+1)^{2}(x-2)

x = -1 \ \text{(doble: tangencia)} \qquad x = 2 \ \text{(cruce)}

¿Quién va arriba? En

x = 0

\text{recta} = 2 \qquad > \qquad \text{curva} = 0

La recta está por encima en todo

[-1,2]

(coherente con

(x+1)^{2}(x-2)\leq0

ahí).

El área.

A = \int_{-1}^{2}\Bigl[2-\bigl(x^{3}-3x\bigr)\Bigr]dx = \int_{-1}^{2}\bigl[2-x^{3}+3x\bigr]dx

= \left[2x-\frac{x^{4}}{4}+\frac{3x^{2}}{2}\right]_{-1}^{2}

En $x = 2$ :

\;4-\dfrac{16}{4}+\dfrac{12}{2} = 4-4+6 = 6

En $x = -1$ :

\;-2-\dfrac14+\dfrac32 = \dfrac{-8-1+6}{4} = -\dfrac34

A = 6-\left(-\frac34\right) = \frac{27}{4} = 6{,}75 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que la tangente salga horizontal ( $y'(-1) = 0$ ) es la pista de que $x=-1$ es un extremo de la cúbica, y por eso el corte con $y=2$ es una raíz doble.

Al resolver $x^{3}-3x-2 = 0$ , prueba primero con los divisores del término independiente ( $\pm1$ , $\pm2$ ). Aquí $x=-1$ funciona y la división deja un cuadrado perfecto.

Cuidado con la evaluación en $x=-1$ : $\;(-1)^{4} = 1$ y $\;3(-1)^{2}/2 = 3/2$ . Los signos de las potencias pares son la fuente habitual de error en este apartado.