Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2014 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Considera la función derivable

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2x} & \text{si } x<0 \\[10pt] a\,x+b & \text{si } x\geq0\end{cases}

a) [1,75 puntos] Calcula

a

b

.

b) [0,75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = -1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lim_{x\to0^{-}}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2x} \overset{\text{L'H}}{=} \frac{e^{0}+e^{0}}{2} = 1 \;\Longrightarrow\; b = 1\;}

\boxed{\;f'(0^{-}) = \lim_{x\to0^{-}}\frac{e^{x}-e^{-x}-2x}{2x^{2}} \overset{\text{L'H}\times2}{=} 0 = f'(0^{+}) = a\;}

\boxed{\;\text{b) } f(-1) = \frac{e-e^{-1}}{2}, \qquad f'(-1) = -\frac{1}{e}\;}

\boxed{\;y = \frac{e-e^{-1}}{2}-\frac{1}{e}\,(x+1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Las dos condiciones de siempre en $x=0$ , pero con una particularidad: el primer trozo no está definido en $x=0$ (hay un $0$ en el denominador), así que la continuidad se impone con un límite:

\lim_{x\to0^{-}}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2x} = f(0) = b

Ese límite es una indeterminación

\frac00

que resuelve L'Hôpital.

Para la derivada por la izquierda se usa la definición (cociente incremental), que vuelve a ser

\frac00

y sale aplicando L'Hôpital dos veces. Como comprobación, el desarrollo de

\frac{e^{x}-e^{-x}}{2x}

empieza en

1+\frac{x^{2}}{6}

, lo que hace evidente que la pendiente en

0

0

b) El punto $x=-1$ cae en el primer trozo: hay que derivar el cociente.

Desarrollo

a) Continuidad en $x=0$ .

\lim_{x\to0^{-}}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2x} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to0}\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1

f(0) = b \;\Longrightarrow\; b = 1

La derivada por la izquierda. Por la definición, con

f(0) = b = 1

f'(0^{-}) = \lim_{x\to0^{-}}\frac{f(x)-1}{x} = \lim_{x\to0^{-}}\frac{e^{x}-e^{-x}-2x}{2x^{2}} \quad \left(\tfrac00\right)

\overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to0^{-}}\frac{e^{x}+e^{-x}-2}{4x} \quad \left(\tfrac00\right) \;\overset{\text{L'H}}{=}\; \lim_{x\to0^{-}}\frac{e^{x}-e^{-x}}{4} = \frac{1-1}{4} = 0

(Comprobación con el desarrollo de Taylor: $e^{x}-e^{-x} = 2x+\frac{2x^{3}}{6}+\cdots$ , luego $\frac{e^{x}-e^{-x}}{2x} = 1+\frac{x^{2}}{6}+\cdots$ , y $\frac{f(x)-1}{x} = \frac{x}{6}+\cdots\to0$ .)

Y por la derecha,

f'(0^{+}) = a

. Igualando:

a = 0, \qquad b = 1

(Es decir, $f(x) = 1$ para todo $x\geq0$ .)

b) La tangente en $x = -1$ . Como

-1<0

, usamos el primer trozo.

f(-1) = \frac{e^{-1}-e^{1}}{-2} = \frac{e-e^{-1}}{2} \approx 1{,}1752

La derivada del cociente.

f'(x) = \frac{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)\,2x-\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,2}{4x^{2}} = \frac{x\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)-\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)}{2x^{2}}

En $x=-1$ :

f'(-1) = \frac{-\bigl(e^{-1}+e\bigr)-\bigl(e^{-1}-e\bigr)}{2} = \frac{-e^{-1}-e-e^{-1}+e}{2} = \frac{-2e^{-1}}{2} = -\frac{1}{e}

La recta tangente.

y-\frac{e-e^{-1}}{2} = -\frac{1}{e}\,(x+1)

y \approx 1{,}175-0{,}368\,(x+1)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El primer trozo no está definido en $x=0$ : la continuidad se impone con el límite lateral, no sustituyendo. Ese límite vale $1$ (L'Hôpital), y eso da $b$ .

Cuidado con $f(-1)$ : $e^{-(-1)} = e$ , no $e^{-1}$ . Al sustituir $x=-1$ en $\frac{e^{x}-e^{-x}}{2x}$ los dos exponentes se intercambian y el denominador es negativo; revisa los tres signos.

Para la derivada lateral, el cociente incremental $\frac{f(x)-f(0)}{x}$ vuelve a dar $\frac00$ : L'Hôpital dos veces lo resuelve. El desarrollo $1+\frac{x^{2}}{6}+\cdots$ (solo potencias pares) confirma que la pendiente en $0$ es $0$ y por tanto $a=0$ .