Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2008 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{0}^{1}x\,\ln(x+1)\,dx

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = \ln(x+1), \ dv = x\,dx \;\Longrightarrow\; du = \frac{dx}{x+1}, \ v = \frac{x^{2}}{2}\;}

\boxed{\;I = \left[\frac{x^{2}}{2}\ln(x+1)\right]_{0}^{1}-\frac12\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{x+1}dx = \frac{\ln2}{2}-\frac12\,J\;}

\boxed{\;\frac{x^{2}}{x+1} = x-1+\frac{1}{x+1} \;\Longrightarrow\; J = \ln2-\frac12\;}

\boxed{\;I = \frac{\ln2}{2}-\frac{\ln2}{2}+\frac14 = \frac14\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Producto de un polinomio por un logaritmo

\Rightarrow

integración por partes, con el logaritmo en $u$ (al derivarlo se convierte en una fracción racional).

u = \ln(x+1) \;\Rightarrow\; du = \frac{dx}{x+1} \qquad dv = x\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{x^{2}}{2}

La integral que queda,

\displaystyle\int\frac{x^{2}}{x+1}dx

, es racional impropia: hay que dividir primero.

Desarrollo

Por partes.

\int_{0}^{1}x\ln(x+1)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\ln(x+1)\right]_{0}^{1}-\frac12\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{x+1}\,dx

El término ya integrado:

\left[\frac{x^{2}}{2}\ln(x+1)\right]_{0}^{1} = \frac12\ln2-0 = \frac{\ln2}{2}

La integral racional. Dividiendo

x^{2}

entre

x+1

x^{2} = (x+1)(x-1)+1 \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2}}{x+1} = x-1+\frac{1}{x+1}

\int_{0}^{1}\left[x-1+\frac{1}{x+1}\right]dx = \left[\frac{x^{2}}{2}-x+\ln(x+1)\right]_{0}^{1}

= \left(\frac12-1+\ln2\right)-0 = \ln2-\frac12

Juntando.

I = \frac{\ln2}{2}-\frac12\left(\ln2-\frac12\right) = \frac{\ln2}{2}-\frac{\ln2}{2}+\frac14

I = \frac14 = 0{,}25

Los logaritmos se cancelan por completo: el resultado es un número racional.

(Truco alternativo: tomar $v = \dfrac{x^{2}-1}{2}$ , que también es primitiva de $x\,dx$ . Entonces $\dfrac{v}{x+1} = \dfrac{x-1}{2}$ y la segunda integral es inmediata, sin división.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con logaritmo por polinomio, el logaritmo va siempre en $u$ : al derivarlo desaparece y deja una función racional, mucho más manejable.

La integral resultante es racional impropia (grado $2$ sobre grado $1$ ): hay que dividir antes de integrar. Sin ese paso no se puede seguir.

Truco fino: elegir $v = \frac{x^{2}-1}{2}$ (también primitiva de $x\,dx$ ) hace que $\frac{v}{x+1} = \frac{x-1}{2}$ y evita la división por completo. La constante de $v$ es libre.