Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2017 · Reserva 2 · Opción B
Enunciado
Opción B · Ejercicio 1. Considera la función definida porf(x)=−x+4x2para x≠0f(x) = -x + \frac{4}{x^{2}} \qquad \text{para } x \neq 0a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de ff.

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de ff.
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Resultado
  a)A.V.: x=0  (+∞ por ambos lados);A. oblicua: y=−x;sin horizontal  \boxed{\;\text{a)}\quad \text{A.V.: } x = 0 \; (+\infty \text{ por ambos lados}); \quad \text{A. oblicua: } y = -x; \quad \text{sin horizontal}\;}  b)f′(x)=−x3+8x3: crece en (−2,0), decrece en (−∞,−2)∪(0,+∞)  \boxed{\;\text{b)}\quad f'(x) = -\frac{x^{3}+8}{x^{3}}: \text{ crece en } (-2,0), \text{ decrece en } (-\infty,-2)\cup(0,+\infty)\;}  Mıˊnimo relativo (−2, 3);c) corte con OX en x=43  \boxed{\;\text{Mínimo relativo } (-2,\, 3); \qquad \text{c) corte con } OX \text{ en } x = \sqrt[3]{4}\;}
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Estrategia

La función viene ya descompuesta: es la recta y=−xy = -x más el término 4x2\dfrac{4}{x^{2}}, que tiende a 00 en el infinito. Eso hace que la asíntota oblicua se lea sin calcular ningún límite:y=−xy = -xY la vertical está en x=0x=0, donde 4x2\dfrac{4}{x^{2}} se dispara. Como el denominador es un cuadrado, se dispara a +∞+\infty por los dos lados.

Derivar también es inmediato con esa forma.
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Desarrollo

a) Asíntota vertical. En x=0x=0:lim⁡x→0−(−x+4x2)=+∞,lim⁡x→0+(−x+4x2)=+∞\lim_{x\to 0^{-}}\left(-x + \frac{4}{x^{2}}\right) = +\infty, \qquad \lim_{x\to 0^{+}}\left(-x + \frac{4}{x^{2}}\right) = +\inftyAsıˊntota vertical: x=0(con +∞ por ambos lados)\textbf{Asíntota vertical: } x = 0 \quad (\text{con } +\infty \text{ por ambos lados})Horizontal: no hay, porque lim⁡x→±∞f(x)=∓∞\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \mp\infty.

Oblicua.m=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞(−1+4x3)=−1m = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\pm\infty}\left(-1 + \frac{4}{x^{3}}\right) = -1n=lim⁡x→±∞(f(x)+x)=lim⁡x→±∞4x2=0n = \lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x) + x\bigr) = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{4}{x^{2}} = 0Asıˊntota oblicua: y=−x\textbf{Asíntota oblicua: } y = -x(El resto 4x2\frac{4}{x^{2}} es siempre positivo, así que la curva queda por encima de la asíntota en las dos ramas.)

b) Monotonía.f′(x)=−1−8x3=−x3−8x3=−x3+8x3f'(x) = -1 - \frac{8}{x^{3}} = \frac{-x^{3} - 8}{x^{3}} = -\frac{x^{3} + 8}{x^{3}}Punto crítico.x3+8=0  ⟹  x=−2x^{3} + 8 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -2Signo de f′f'. Hay dos puntos que separan los intervalos: x=−2x=-2 (donde se anula) y x=0x=0 (donde no existe).Intervalox3+8x3f′f(−∞, −2)−−−decreciente(−2, 0)+−+creciente(0, +∞)++−decreciente\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Intervalo} & x^{3}+8 & x^{3} & f' & f \\ \hline (-\infty,\, -2) & - & - & - & \text{decreciente} \\ (-2,\, 0) & + & - & + & \text{creciente} \\ (0,\, +\infty) & + & + & - & \text{decreciente}\end{array}Creciente en (−2, 0);decreciente en (−∞,−2)∪(0,+∞)\text{Creciente en } (-2,\, 0); \qquad \text{decreciente en } (-\infty,-2)\cup(0,+\infty)Extremo relativo. En x=−2x=-2 la derivada pasa de negativa a positiva: mínimo relativo.f(−2)=2+44=2+1=3f(-2) = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3Mıˊnimo relativo (−2, 3)\text{Mínimo relativo } (-2,\, 3)c) Esbozo. Corte con el eje OXOX:−x+4x2=0  ⟹  x3=4  ⟹  x=43≈1,59-x + \frac{4}{x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{3} = 4 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}59No hay corte con OYOY (el 00 está excluido del dominio).

La rama izquierda baja desde +∞+\infty (siguiendo la asíntota y=−xy=-x por arriba), llega al mínimo (−2,3)(-2,3) y sube hacia +∞+\infty al acercarse a x=0x=0. La rama derecha baja desde +∞+\infty, corta al eje en 43\sqrt[3]{4} y sigue bajando pegada a y=−xy = -x.
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Consejo

Que el denominador sea x2x^{2} (un cuadrado) hace que la asíntota vertical tenga +∞+\infty por los dos lados. Con xx o x3x^{3} los signos serían opuestos: conviene calcular los dos límites laterales y no darlos por supuestos.

La función viene ya separada en "recta + resto": aprovéchalo. La oblicua es y=−xy = -x sin calcular límites, y como el resto es siempre positivo, sabes además que la curva va por encima de ella.

Al hacer la tabla de signos incluye x=0x=0, aunque f′f' no se anule ahí: es un punto donde la derivada no existe y separa intervalos. Olvidarlo da un único intervalo de decrecimiento, que es incorrecto.
Paso 1 de 3
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