Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2024 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque B). Considera la función

f(x) = \begin{cases} 1 - e^{x} & \text{si } x \leq 0 \\[4pt] x\cos(x) & \text{si } x > 0 \end{cases}

Calcula

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = \bigl(\pi - 1 + e^{-\pi}\bigr) - 2 = \pi - 3 + e^{-\pi} \approx 0{,}18\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El punto de cambio,

x=0

, está dentro del intervalo

[-\pi,\pi]

, así que por aditividad respecto del intervalo la integral se parte en dos:

\int_{-\pi}^{\pi} f = \int_{-\pi}^{0}\bigl(1-e^{x}\bigr)dx + \int_{0}^{\pi} x\cos(x)\,dx

La primera es inmediata; la segunda es "polinomio por trigonométrica", así que por partes con

u=x

. Los criterios dan

0{,}5

puntos por partir la integral y

0{,}75

por aplicar bien la integración por partes: más de la mitad del ejercicio está en identificar bien esos dos pasos.

Desarrollo

Primer trozo: $\displaystyle\int_{-\pi}^{0}\bigl(1-e^{x}\bigr)dx$ .

Una primitiva es

x - e^{x}

, luego

\int_{-\pi}^{0}\bigl(1-e^{x}\bigr)dx = \Bigl[x - e^{x}\Bigr]_{-\pi}^{0} = \bigl(0 - e^{0}\bigr) - \bigl(-\pi - e^{-\pi}\bigr) = -1 + \pi + e^{-\pi}

Segundo trozo: $\displaystyle\int_{0}^{\pi} x\cos(x)\,dx$ .

Por partes, con

u = x

(

du = dx

) y

dv = \cos(x)dx

(

v = \operatorname{sen}(x)

\int x\cos(x)\,dx = x\operatorname{sen}(x) - \int\operatorname{sen}(x)\,dx = x\operatorname{sen}(x) + \cos(x)

Aplicando Barrow, con

\operatorname{sen}\pi = 0

\cos\pi = -1

\int_{0}^{\pi} x\cos(x)\,dx = \Bigl[x\operatorname{sen}(x) + \cos(x)\Bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(0 - 1\bigr) - \bigl(0 + 1\bigr) = -2

Suma.

\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = \bigl(\pi - 1 + e^{-\pi}\bigr) + (-2) = \pi - 3 + e^{-\pi}

\approx 3{,}1416 - 3 + 0{,}0432 \approx 0{,}18

Comprobación de coherencia de signos: en

[-\pi,0]

e^{x}\leq 1

, luego

1-e^{x}\geq 0

y ese trozo aporta área positiva (≈

2{,}18

); en

[0,\pi]

la función

x\cos x

es positiva en

\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

y negativa (con más peso, porque

x

es mayor) en

\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)

, así que aporta un valor negativo (

-2

). El total queda positivo pero pequeño, como sale.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El $x=0$ está dentro del intervalo: hay que partir la integral. Y fíjate en que a cada trozo le corresponde su expresión: $1-e^{x}$ en el de la izquierda y $x\cos x$ en el de la derecha. Usar una sola fórmula en todo $[-\pi,\pi]$ invalida el ejercicio.

Ojo también con el signo al evaluar: $-\bigl(-\pi - e^{-\pi}\bigr) = +\pi + e^{-\pi}$ . Los dos signos seguidos son un punto clásico de error, y aquí cambian el resultado por completo.