Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2020 · Septiembre

Enunciado

Ejercicio 6. Considera las funciones

f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definidas por

f(x) = -4x + 2 \qquad \text{y} \qquad g(x) = -x^{2} + 2x + c

a) [1 punto] Halla el valor de

c

sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que

g

alcanza su máximo.

b) [1,5 puntos] Para

c = -3

, calcula el área de la región limitada por ambas gráficas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Vértice en } x = 1; \quad g(1) = 1 + c = f(1) = -2 \;\Longrightarrow\; c = -3\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \int_{1}^{5}\bigl(-x^{2}+6x-5\bigr)dx = \frac{32}{3} \approx 10{,}67 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), el máximo de la parábola está en su vértice, que se localiza con

g'(x) = 0

y no depende de $c$ (porque

c

solo desplaza la parábola verticalmente). Una vez conocida la abscisa del vértice, basta imponer que ahí las dos gráficas coincidan.

En b) es un área entre recta y parábola: cortes, ver quién va por encima e integrar la diferencia.

Desarrollo

a) Vértice de la parábola.

g'(x) = -2x + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1

Como

g'' = -2 < 0

, en

x = 1

hay efectivamente un máximo. Su ordenada es

g(1) = -1 + 2 + c = 1 + c

Condición de corte en ese punto. La recta debe pasar por ahí:

f(1) = -4 + 2 = -2

1 + c = -2 \;\Longrightarrow\; c = -3

b) Caso $c = -3$ . Ahora

g(x) = -x^{2} + 2x - 3

.

Puntos de corte.

-4x + 2 = -x^{2} + 2x - 3 \;\Longrightarrow\; x^{2} - 6x + 5 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \;\text{ o }\; x = 5

(El corte en $x=1$ era de esperar: es el punto del apartado a).)

Qué función va por encima. En

x = 3

f(3) = -12 + 2 = -10, \qquad g(3) = -9 + 6 - 3 = -6

Gana

g

: la parábola está por encima de la recta en

(1, 5)

.

Área.

A = \int_{1}^{5}\bigl(g(x) - f(x)\bigr)dx = \int_{1}^{5}\Bigl(-x^{2} + 2x - 3 + 4x - 2\Bigr)dx = \int_{1}^{5}\bigl(-x^{2} + 6x - 5\bigr)dx

= \left[-\frac{x^{3}}{3} + 3x^{2} - 5x\right]_{1}^{5}

x = 5

\;-\dfrac{125}{3} + 75 - 25 = -\dfrac{125}{3} + 50 = \dfrac{25}{3}

x = 1

\;-\dfrac{1}{3} + 3 - 5 = -\dfrac{7}{3}

A = \frac{25}{3} + \frac{7}{3} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La abscisa del vértice no depende de $c$ : el parámetro solo sube o baja la parábola. Por eso se puede localizar el máximo primero y usar la condición después. Intentar resolver el corte genérico $f(x) = g(x)$ con $c$ dentro complica el apartado sin necesidad.

En b), el valor $c = -3$ es el del apartado a), así que uno de los cortes tiene que ser $x = 1$ . Si al resolver la ecuación de segundo grado no te sale esa raíz, hay un error en alguno de los dos apartados: es una comprobación cruzada gratis.