Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2015 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sean

f : [0,\infty)\to\mathbb{R}

g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

las funciones definidas por

f(x) = \sqrt{2x}

g(x) = \dfrac12 x^{2}

.

a) [0,75 puntos] Halla los puntos de corte de las gráficas de

f

g

. Haz un esbozo del recinto que limitan.

b) [1,75 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\sqrt{2x} = \frac{x^{2}}{2} \;\Longrightarrow\; 8x = x^{4} \;\Longrightarrow\; x(x^{3}-8) = 0: \quad x = 0,\ x = 2\;}

\boxed{\;\text{a) Cortes } (0,0) \text{ y } (2,2); \ \text{la raíz va por encima en } (0,2)\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{2}\left[\sqrt{2x}-\frac{x^{2}}{2}\right]dx = \frac83-\frac43\;}

\boxed{\;A = \frac{4}{3} \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Área entre dos curvas: los límites son sus cortes. Al igualarlas aparece una raíz, así que hay que elevar al cuadrado — y comprobar después que las soluciones son válidas (elevar al cuadrado puede introducir soluciones falsas).

Para el área, conviene escribir la raíz como potencia:

\sqrt{2x} = \sqrt2\;x^{1/2} \;\Longrightarrow\; \int\sqrt{2x}\,dx = \sqrt2\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2\sqrt2}{3}x^{3/2}

Y antes de integrar, decidir quién va arriba evaluando en un punto interior.

Desarrollo

a) Puntos de corte.

\sqrt{2x} = \frac{x^{2}}{2}

Elevando al cuadrado (ambos miembros son

\geq0

en el dominio

x\geq0

2x = \frac{x^{4}}{4} \;\Longrightarrow\; 8x = x^{4} \;\Longrightarrow\; x\,\bigl(x^{3}-8\bigr) = 0

x = 0 \qquad \text{o} \qquad x^{3} = 8 \;\Longrightarrow\; x = 2

(Las dos son válidas: $f(0)=g(0)=0$ y $f(2) = 2 = g(2)$ .)

(0,\,0) \qquad \text{y} \qquad (2,\,2)

El recinto. Entre

x=0

x=2

: la raíz

\sqrt{2x}

sube deprisa al principio y la parábola

\frac{x^{2}}{2}

lo hace despacio, así que la raíz queda por encima. Comprobación en

x=1

f(1) = \sqrt2 \approx 1{,}41 \qquad > \qquad g(1) = 0{,}5

Las dos curvas son simétricas respecto de la recta

y=x

(para

x\geq0

, una es la inversa de la otra: de

y = \frac{x^{2}}{2}

se despeja

x = \sqrt{2y}

), y encierran una figura con forma de lente entre

(0,0)

(2,2)

.

b) El área.

A = \int_{0}^{2}\left[\sqrt{2x}-\frac{x^{2}}{2}\right]dx

Primera parte.

\int_{0}^{2}\sqrt2\,x^{1/2}\,dx = \sqrt2\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{2} = \frac{2\sqrt2}{3}\cdot 2^{3/2} = \frac{2\sqrt2\cdot 2\sqrt2}{3} = \frac{8}{3}

Segunda parte.

\int_{0}^{2}\frac{x^{2}}{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{6}\right]_{0}^{2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

El área.

A = \frac83-\frac43 = \frac{4}{3} \approx 1{,}33 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al igualar aparece una raíz: eleva al cuadrado y luego comprueba las soluciones. Aquí las dos valen, pero ese paso puede introducir raíces falsas y hay que verificarlo.

Escribe $\sqrt{2x} = \sqrt2\,x^{1/2}$ antes de integrar: así aplicas la regla de la potencia sin confundirte. Un error típico es integrar la raíz "como si fuera $x$ ".

Estas dos funciones son inversas una de la otra, así que el recinto es simétrico respecto de $y=x$ . Es un buen control: el resultado debe ser el mismo si integras respecto de $y$ .