Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2012 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea la función continua

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \begin{cases} x+k & \text{si } x\leq 0 \\[8pt] \dfrac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}} & \text{si } x>0\end{cases}

a) [1,25 puntos] Calcula el valor de

k

.

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f

en el punto de abscisa

x = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(0^{-}) = k; \qquad f(0^{+}) = \lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u} = 1 \;\Longrightarrow\; k = 1\;}

\boxed{\;f(1) = e-1\;}

\boxed{\;f'(x) = \frac{2\bigl[(x^{2}-1)e^{x^{2}}+1\bigr]}{x^{3}} \;\Longrightarrow\; f'(1) = 2\;}

\boxed{\;y = (e-1)+2\,(x-1) = 2x+e-3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) La continuidad en $x=0$ exige que el límite por la derecha coincida con $f(0) = k$ . Ese límite es una indeterminación $\frac00$ , y se resuelve rapidísimo con el infinitésimo equivalente

e^{u}-1 \sim u \quad (u\to0) \;\Longrightarrow\; \frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}} \sim \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1

(o con L'Hôpital, tomando

u = x^{2}

b) El punto $x=1$ cae en el segundo tramo, así que hay que derivar $\dfrac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}$ .

Desarrollo

a) Continuidad en $x=0$ .

f(0^{-}) = 0+k = k

f(0^{+}) = \lim_{x\to0^{+}}\frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}

Con el cambio

u = x^{2}\to0^{+}

= \lim_{u\to0^{+}}\frac{e^{u}-1}{u} = 1

(Es la derivada de $e^{u}$ en $u=0$ ; también sale con L'Hôpital.)

k = 1

b) La tangente en $x = 1$ . Usamos la rama

x>0

f(1) = \frac{e^{1}-1}{1} = e-1 \approx 1{,}718

La derivada (regla del cociente, con

\bigl(e^{x^{2}}\bigr)' = 2x\,e^{x^{2}}

f'(x) = \frac{2x\,e^{x^{2}}\cdot x^{2}-\bigl(e^{x^{2}}-1\bigr)\cdot 2x}{x^{4}} = \frac{2x\Bigl[x^{2}e^{x^{2}}-e^{x^{2}}+1\Bigr]}{x^{4}} = \frac{2\Bigl[\bigl(x^{2}-1\bigr)e^{x^{2}}+1\Bigr]}{x^{3}}

En $x = 1$ :

f'(1) = \frac{2\bigl[(1-1)e+1\bigr]}{1} = 2

La recta tangente.

y-(e-1) = 2\,(x-1) \;\Longrightarrow\; y = 2x+e-3

(Numéricamente, $y \approx 2x-0{,}282$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El infinitésimo $e^{u}-1\sim u$ resuelve el límite de un vistazo con $u = x^{2}$ . Si prefieres L'Hôpital, aplícalo también en la variable $u$ : derivar en $x$ directamente es más engorroso.

El punto $x=1$ está en el segundo tramo: hay que derivar la expresión con la exponencial, no $x+k$ . Comprobar en qué trozo cae el punto es el primer paso.

Al derivar $e^{x^{2}}$ no olvides la regla de la cadena: $2x\,e^{x^{2}}$ . Y fíjate en que en $x=1$ el corchete se simplifica a $1$ , lo que hace que $f'(1)$ salga exacto.