Derivadas y aplicaciones

a) Derivada y punto crítico. Escribiendo $g(x) = e^{x} + e^{-x}$, se tiene $f = 1/g$ y$$f'(x) = -\frac{g'(x)}{g(x)^{2}} = -\frac{e^{x} - e^{-x}}{\bigl(e^{x} + e^{-x}\bigr)^{2}}$$Como el denominador es siempre positivo, el signo de $f'$ es el opuesto al de $e^{x} - e^{-x}$:$$f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; e^{x} = e^{-x} \;\Longleftrightarrow\; x = -x \;\Longleftrightarrow\; x = 0$$

• Si $x < 0$: $e^{x} < e^{-x}$, luego $e^{x} - e^{-x} < 0$ y $f'(x) > 0$: $f$ crece.
• Si $x > 0$: $e^{x} > e^{-x}$, luego $f'(x) < 0$: $f$ decrece.

Por tanto en $x = 0$ hay un máximo, y al pasar de crecer a decrecer en todo el dominio ese máximo es absoluto:$$f(0) = \frac{1}{e^{0} + e^{0}} = \frac{1}{2}$$(La misma conclusión sale sin derivar: por la desigualdad entre las medias, $e^{x} + e^{-x} \geq 2\sqrt{e^{x}e^{-x}} = 2$, con igualdad solo si $e^{x} = e^{-x}$.)

Mínimo absoluto. Como $e^{x} + e^{-x} > 0$ siempre, se cumple $f(x) > 0$ para todo $x$. Y en los extremos del dominio:$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$$porque el denominador tiende a $+\infty$ en ambos casos. Así que $f$ toma valores tan próximos a $0$ como se quiera pero nunca vale $0$: el ínfimo es $0$ y no se alcanza. La función no tiene mínimo absoluto.

b) Se trata de la indeterminación $\infty \cdot 0$, que se reescribe como cociente:$$\lim_{x \to +\infty} x^{2} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}}{e^{x} + e^{-x}}$$Cuando $x \to +\infty$ el sumando $e^{-x} \to 0$, de modo que el denominador se comporta como $e^{x}$. Y la exponencial es un infinito de orden superior a cualquier potencia, luego el límite vale $0$.

Si se prefiere justificarlo con L'Hôpital (indeterminación $\infty/\infty$), hay que aplicarlo dos veces:$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}}{e^{x} + e^{-x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^{x} - e^{-x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^{x} + e^{-x}} = \frac{2}{+\infty} = 0$$