Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2016 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sabiendo que

\lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+1) - a\operatorname{sen}(x) + x\cos(3x)}{x^{2}}

es finito, calcula

a

y el valor del límite (

\ln

denota logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;N(0) = 0 \text{ siempre}; \qquad \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x+1} - a\cos x + \cos 3x - 3x\operatorname{sen} 3x}{2x}\;}

\boxed{\;\text{Finito} \Longleftrightarrow \text{el numerador se anula en } 0: \; 2 - a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 2\;}

\boxed{\;L = -\frac{1}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El enunciado no dice que el límite valga algo concreto: dice que es finito. Esa es la condición que determina

a

.

El denominador es

x^{2}

, así que para que el cociente no se dispare, el numerador debe anularse al menos como $x^{2}$ . Es decir, además de valer

0

x=0

(lo cual ocurre siempre), su coeficiente en $x$ debe ser nulo.

Con L'Hôpital se ve igual de bien: al aplicarlo una vez, la única forma de que siga siendo

\frac00

—y por tanto de que el límite sea finito— es que el numerador derivado también se anule en

0

Desarrollo

El numerador en $x=0$ .

N(x) = \ln(x+1) - a\operatorname{sen} x + x\cos 3x

N(0) = \ln 1 - a\operatorname{sen} 0 + 0 = 0

Como el denominador también se anula, es una indeterminación

\frac00

.

Primera aplicación de L'Hôpital.

N'(x) = \frac{1}{x+1} - a\cos x + \cos 3x - 3x\operatorname{sen} 3x

\lim_{x\to 0}\frac{N'(x)}{2x}, \qquad N'(0) = 1 - a + 1 - 0 = 2 - a

La condición de finitud. Si

2 - a \neq 0

, el numerador tendería a un número no nulo y el denominador a

0

: el límite sería infinito. Para que sea finito hace falta

2 - a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 2

Segunda aplicación de L'Hôpital (ya con

a=2

, y de nuevo

\frac00

N''(x) = -\frac{1}{(x+1)^{2}} + 2\operatorname{sen} x - 3\operatorname{sen} 3x - 3\operatorname{sen} 3x - 9x\cos 3x

N''(0) = -1 + 0 - 0 - 0 - 0 = -1

L = \lim_{x\to 0}\frac{N''(x)}{2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}

Comprobación con desarrollos de Taylor. Cerca de

0

\ln(1+x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \cdots, \qquad \operatorname{sen} x = x - \cdots, \qquad x\cos 3x = x - \frac{9x^{3}}{2} + \cdots

N(x) = \bigl(x - \tfrac{x^{2}}{2}\bigr) - a\,x + x + \cdots = (2-a)\,x - \frac{x^{2}}{2} + \cdots

Con

a=2

el término lineal desaparece y queda

N(x) \approx -\tfrac{x^{2}}{2}

, luego

L = \frac{-x^{2}/2}{x^{2}} = -\frac12 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"El límite es finito" es una condición, no un dato numérico. Traducida: el numerador debe anularse tantas veces como el denominador. Con $x^{2}$ abajo, hace falta que el numerador se anule dos veces (valor y derivada).

Justifica la condición en vez de imponerla sin más: si $2-a\neq 0$ , tras la primera aplicación de L'Hôpital quedaría un número no nulo dividido por $0$ , es decir, infinito. Ese razonamiento es lo que se valora.

Deriva con cuidado $x\cos 3x$ : la regla del producto y la cadena dan $\cos 3x - 3x\operatorname{sen} 3x$ . Es el término que más se atraganta, y en $x=0$ aporta el segundo $1$ que hace que la condición sea $a=2$ y no $a=1$ .