Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2011 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad,

x

, es de

18

50

años, los ingresos vienen dados por la fórmula

\;-x^{2}+70x

, mientras que para edades iguales o superiores a $50$ años los ingresos están determinados por la expresión

\frac{400x}{x-30}

Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a qué edad se alcanza.

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Resultado

\boxed{\;I_{1}(x) = -x^{2}+70x \ (18\leq x\leq50), \qquad I_{2}(x) = \frac{400x}{x-30} \ (x\geq50)\;}

\boxed{\;I_{1}'(x) = -2x+70 = 0 \Rightarrow x = 35, \quad I_{1}(35) = 1225\;}

\boxed{\;I_{2}'(x) = \frac{-12000}{(x-30)^{2}} < 0: \text{ decreciente}; \quad I_{2}(50) = 1000\;}

\boxed{\;\text{Máximo: } 1225 \ \text{euros a los } 35 \ \text{años}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una función definida a trozos:

I(x) = \begin{cases} -x^{2}+70x & \text{si } 18\leq x\leq50 \\[2mm] \dfrac{400x}{x-30} & \text{si } x\geq50\end{cases}

Hay que buscar el máximo en cada tramo por separado y comparar, sin olvidar los extremos (

x=18

) ni el punto de empalme (

x=50

).

En el segundo tramo la derivada tiene signo constante, así que no hay puntos críticos: el máximo está en un extremo.

Desarrollo

Primer tramo: $18\leq x\leq50$ .

I_{1}(x) = -x^{2}+70x \;\Longrightarrow\; I_{1}'(x) = -2x+70 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 35

Es una parábola de ramas hacia abajo, así que

x=35

es el máximo del tramo:

I_{1}(35) = -1225+2450 = 1225 \ \text{euros}

Valores en los extremos del tramo:

I_{1}(18) = -324+1260 = 936 \qquad I_{1}(50) = -2500+3500 = 1000

Segundo tramo: $x\geq50$ .

I_{2}(x) = \frac{400x}{x-30}

I_{2}'(x) = \frac{400\,(x-30)-400x}{(x-30)^{2}} = \frac{-12000}{(x-30)^{2}} < 0 \quad \text{para todo } x>30

Es siempre decreciente, luego su máximo se alcanza en el extremo izquierdo:

I_{2}(50) = \frac{400\cdot50}{20} = \frac{20000}{20} = 1000 \ \text{euros}

(La función es continua en $x=50$ : los dos tramos valen $1000$ ahí.)

(Y decrece hacia la asíntota horizontal $y = 400$ cuando $x\to+\infty$ .)

Comparación.

936 \ (x=18) \qquad \mathbf{1225} \ (x=35) \qquad 1000 \ (x=50) \qquad <1000 \ (x>50)

\textbf{Ingreso máximo: } 1225 \ \text{euros, a los } 35 \ \text{años}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con funciones a trozos hay que estudiar cada tramo en su intervalo y comparar todos los candidatos: puntos críticos, extremos del dominio y punto de empalme.

En el segundo tramo no busques $I_{2}' = 0$ : el numerador de la derivada es la constante $-12000$ , que nunca se anula. Basta con decir que la función es decreciente.

Cuidado con el dominio real del problema: $x$ es una edad, así que empieza en $18$ . El vértice de la parábola en $x=35$ cae dentro, pero eso hay que comprobarlo.