Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2020 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 6. Considera las funciones

f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definidas por

f(x) = |x|

g(x) = x^{2} - 2

.

a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de las gráficas de

f

g

. Esboza el recinto que determinan.

b) [1,5 puntos] Determina el área del recinto anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Cortes en } (-2, 2) \text{ y } (2, 2); \quad f = |x| \text{ por encima de } g = x^{2}-2\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = 2\int_{0}^{2}\bigl(x - x^{2} + 2\bigr)dx = \frac{20}{3} \approx 6{,}67\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El valor absoluto obliga a partir en dos casos (

x \geq 0

x < 0

) tanto para hallar los cortes como para integrar.

Pero hay un atajo que ahorra la mitad del trabajo: las dos funciones son pares (

|-x| = |x|

(-x)^{2}-2 = x^{2}-2

), así que el recinto es simétrico respecto del eje $OY$ . Basta calcular el área de la mitad derecha y duplicarla.

Dentro del recinto,

f

queda por encima de

g

, así que el integrando es

f - g

Desarrollo

a) Puntos de corte.

Caso $x \geq 0$ (aquí

|x| = x

x = x^{2} - 2 \;\Longrightarrow\; x^{2} - x - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-2)(x+1) = 0

Solo vale

x = 2

(la raíz

x = -1

no cumple

x\geq 0

). Punto:

(2, 2)

.

Caso $x < 0$ (aquí

|x| = -x

-x = x^{2} - 2 \;\Longrightarrow\; x^{2} + x - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; (x+2)(x-1) = 0

Solo vale

x = -2

. Punto:

(-2, 2)

\text{Cortes: } (-2,\, 2) \quad \text{y} \quad (2,\, 2)

El recinto. Está limitado por arriba por la "V" de

f(x) = |x|

(con vértice en el origen) y por abajo por la parábola

g(x) = x^{2}-2

(con vértice en

(0,-2)

). Se cierra entre

x = -2

x = 2

.

Que

f > g

dentro se comprueba en un punto intermedio, por ejemplo

x = 0

f(0) = 0 > -2 = g(0) \quad \checkmark

b) Área. Aprovechando la simetría par de ambas funciones:

A = \int_{-2}^{2}\bigl(|x| - x^{2} + 2\bigr)dx = 2\int_{0}^{2}\bigl(x - x^{2} + 2\bigr)dx

= 2\left[\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + 2x\right]_{0}^{2} = 2\left(\frac{4}{2} - \frac{8}{3} + 4\right)

= 2\left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right) = 2\left(6 - \frac{8}{3}\right) = 2\cdot\frac{10}{3} = \frac{20}{3}

A = \frac{20}{3} \approx 6{,}67 \ \text{unidades cuadradas}

(Sin usar la simetría: $\int_{-2}^{0}(-x - x^{2} + 2)dx = \tfrac{10}{3}$ y $\int_{0}^{2}(x - x^{2} + 2)dx = \tfrac{10}{3}$ , que suman lo mismo.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Un valor absoluto no se integra tal cual: hay que abrirlo. Aquí, además, el propio vértice de la "V" está en $x=0$ , justo dentro del intervalo, así que es obligatorio partir ahí aunque decidas no usar la simetría.

Y usa la paridad: ambas funciones son pares, el recinto es simétrico y basta con integrar de $0$ a $2$ y multiplicar por dos. Menos cuentas es menos ocasiones de equivocarse.

Comprueba siempre quién va arriba evaluando en un punto interior. Si restas al revés obtienes $-\tfrac{20}{3}$ , y un área no puede ser negativa.