Opción B · Ejercicio 2. La recta tangente a la gráfica de la función f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, definida por f(x) = m x^{2}+n x-3 en el punto (1,-6), es paralela a la recta de ecuación \;y = -x. a) [1,25 puntos] Determina las constantes m y n. Halla la ecuación de dicha recta tangente. b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función, la recta tangente anterior y el eje de ordenadas.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2009 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. La recta tangente a la gráfica de la función

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

, definida por

f(x) = m x^{2}+n x-3

en el punto

(1,-6)

, es paralela a la recta de ecuación

\;y = -x

.

a) [1,25 puntos] Determina las constantes

m

n

. Halla la ecuación de dicha recta tangente.

b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función, la recta tangente anterior y el eje de ordenadas.

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Resultado

\boxed{\;f(1) = m+n-3 = -6; \qquad f'(1) = 2m+n = -1\;}

\boxed{\;m = 2, \ n = -5: \quad f(x) = 2x^{2}-5x-3; \quad \text{tangente } y = -x-5\;}

\boxed{\;f(x)-(-x-5) = 2\,(x-1)^{2} \geq 0 \ \text{(raíz doble: tangencia)}\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{1}2\,(x-1)^{2}dx = \frac23 \approx 0{,}67 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Dos condiciones, dos incógnitas:

- "pasa por

(1,-6)

\Rightarrow f(1) = -6

,
- "tangente paralela a

y = -x

\Rightarrow f'(1) = -1

(misma pendiente).

b) Como la recta es tangente, la diferencia $f(x)-\text{tangente}$ tiene una raíz doble en $x=1$ . El recinto se cierra por la izquierda con el eje $OY$ ( $x=0$ ).

Desarrollo

a) Las constantes.

f(1) = m+n-3 = -6 \;\Longrightarrow\; m+n = -3

f'(x) = 2m x+n \;\Longrightarrow\; f'(1) = 2m+n = -1

Restando la primera de la segunda:

m = 2 \;\Longrightarrow\; n = -3-2 = -5

f(x) = 2x^{2}-5x-3

Comprobación:

\;f(1) = 2-5-3 = -6

\;\checkmark

\;f'(1) = 4-5 = -1

\;\checkmark

La recta tangente (por

(1,-6)

con pendiente

-1

y+6 = -1\,(x-1) \;\Longrightarrow\; y = -x-5

b) El área. La diferencia entre la parábola y la tangente:

f(x)-(-x-5) = 2x^{2}-5x-3+x+5 = 2x^{2}-4x+2 = 2\,(x-1)^{2}

Raíz doble en $x = 1$ , como debe ser: se tocan ahí y no se cruzan.

Y como

2(x-1)^{2}\geq0

, la parábola va por encima de la tangente en todo el intervalo.

Los vértices del recinto:

(0,-3)

(parábola con

OY

(0,-5)

(tangente con

OY

) y

(1,-6)

(tangencia).

A = \int_{0}^{1}\Bigl[f(x)-(-x-5)\Bigr]dx = \int_{0}^{1}2\,(x-1)^{2}\,dx

= \left[\frac{2\,(x-1)^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 0-\frac{2\,(-1)^{3}}{3} = \frac23

A = \frac23 \approx 0{,}67 \ \text{u}^{2}

Comprobación integrando término a término:

\int_{0}^{1}\bigl(2x^{2}-4x+2\bigr)dx = \left[\frac{2x^{3}}{3}-2x^{2}+2x\right]_{0}^{1} = \frac23-2+2 = \frac23 \;\checkmark

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Consejo

"Paralela a $y = -x$ " solo aporta la pendiente ( $-1$ ). La otra condición es que la gráfica pase por $(1,-6)$ : son dos ecuaciones distintas.

La diferencia parábola $-$ tangente siempre es de la forma $a\,(x-x_{0})^{2}$ : raíz doble en el punto de tangencia. Reconocerlo hace la integral inmediata y confirma el signo.

El recinto se cierra con el eje $OY$ : sin ese dato no estaría acotado por la izquierda. El límite inferior de la integral es $x = 0$ .