Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2018 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Se sabe que la función

f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = \begin{cases} \sqrt{a\,x} & \text{si } 0 \leq x \leq 8 \\[8pt] \dfrac{x^{2} - 32}{x - 4} & \text{si } x > 8\end{cases}

es continua.

a) [0,5 puntos] Determina

a

.

b) [2 puntos] Para

a = 8

, calcula

\displaystyle\int_{0}^{10} f(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \sqrt{8a} = \frac{64-32}{8-4} = 8 \;\Longrightarrow\; a = 8\;}

\boxed{\;\int_{0}^{8}\sqrt{8x}\,dx = \frac{128}{3}; \qquad \frac{x^{2}-32}{x-4} = x + 4 - \frac{16}{x-4}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \int_{0}^{10} f = \frac{128}{3} + 26 - 16\ln\tfrac32 = \frac{206}{3} - 16\ln\frac{3}{2} \approx 62{,}18\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), la continuidad en

x=8

iguala el valor de la rama izquierda con el límite por la derecha. Ojo: en

x=8

la rama de la derecha sí está definida (el denominador

x-4

vale

4 \neq 0

), así que basta sustituir.

En b), el intervalo

[0,10]

atraviesa el empalme, luego la integral se parte en $x = 8$ :

De $0$ a $8$ : una potencia, $\sqrt{8x} = 2\sqrt2\,x^{1/2}$ .
De $8$ a $10$ : una racional impropia (grado $2$ arriba, grado $1$ abajo) que hay que dividir antes de integrar; aparecerá un logaritmo.

Desarrollo

a) Continuidad en $x = 8$ .

f(8) = \sqrt{8a}

\lim_{x\to 8^{+}}\frac{x^{2}-32}{x-4} = \frac{64 - 32}{8 - 4} = \frac{32}{4} = 8

\sqrt{8a} = 8 \;\Longrightarrow\; 8a = 64 \;\Longrightarrow\; a = 8

b) La integral, partida en $x = 8$ .

\int_{0}^{10} f = \int_{0}^{8}\sqrt{8x}\,dx + \int_{8}^{10}\frac{x^{2}-32}{x-4}\,dx

Primer tramo.

\int_{0}^{8}\sqrt{8x}\,dx = 2\sqrt2\int_{0}^{8} x^{1/2}dx = 2\sqrt2\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{8}

Como

8^{3/2} = 16\sqrt2

= 2\sqrt2\cdot\frac{2}{3}\cdot 16\sqrt2 = \frac{4\sqrt2\cdot 16\sqrt2}{3} = \frac{64\cdot 2}{3} = \frac{128}{3}

Segundo tramo: la división. El numerador tiene grado mayor, así que dividimos:

x^{2} - 32 = (x-4)(x+4) - 16

(En efecto: $(x-4)(x+4) = x^{2}-16$ , y faltan $-16$ para llegar a $x^{2}-32$ .)

\frac{x^{2}-32}{x-4} = x + 4 - \frac{16}{x-4}

\int_{8}^{10}\left(x + 4 - \frac{16}{x-4}\right)dx = \left[\frac{x^{2}}{2} + 4x - 16\ln(x-4)\right]_{8}^{10}

En $x=10$ :

\;50 + 40 - 16\ln 6 = 90 - 16\ln 6

En $x=8$ :

\;32 + 32 - 16\ln 4 = 64 - 16\ln 4

= 26 - 16\bigl(\ln 6 - \ln 4\bigr) = 26 - 16\ln\frac{3}{2}

Total.

\int_{0}^{10} f(x)\,dx = \frac{128}{3} + 26 - 16\ln\frac{3}{2} = \frac{206}{3} - 16\ln\frac{3}{2}

Numéricamente,

\approx 68{,}667 - 6{,}487 = 62{,}18

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Consejo

Con una función a trozos, la integral se parte en el punto de empalme. Aquí el intervalo $[0,10]$ cruza $x=8$ : hay que hacer dos integrales con expresiones distintas.

La segunda es una racional impropia (grado arriba $\geq$ grado abajo): hay que dividir primero. Si intentas integrarla directamente, no reconocerás ni el polinomio ni el logaritmo.

Cuidado con $8^{3/2}$ : es $\bigl(\sqrt8\bigr)^{3} = 16\sqrt2$ , no $12$ ni $24$ . Y al restar logaritmos usa $\ln 6 - \ln 4 = \ln\tfrac{6}{4} = \ln\tfrac32$ , que deja el resultado mucho más presentable.