Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2016 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función

f

en el punto de abscisa

x = 1

sabiendo que

f(0) = 0

f'(x) = \frac{(x-1)^{2}}{x+1} \qquad \text{para } x > -1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(1) = 0 \;\Longrightarrow\; \text{la tangente es horizontal}\;}

\boxed{\;f'(x) = x - 3 + \frac{4}{x+1} \;\Longrightarrow\; f(x) = \frac{x^{2}}{2} - 3x + 4\ln(x+1) + C, \quad f(0)=0 \Rightarrow C = 0\;}

\boxed{\;f(1) = -\frac52 + 4\ln 2 \;\Longrightarrow\; y = 4\ln 2 - \frac{5}{2} \approx 0{,}27\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para escribir la tangente hacen falta dos cosas: la pendiente

f'(1)

y el valor

f(1)

La pendiente es inmediata: se sustituye $x=1$ en la expresión dada de $f'$ , y resulta ser $0$ . La tangente será horizontal.
El valor $f(1)$ hay que obtenerlo integrando $f'$ y usando el dato $f(0)=0$ para fijar la constante.

La integral es una racional impropia: hay que dividir antes.

Desarrollo

La pendiente.

f'(1) = \frac{(1-1)^{2}}{1+1} = \frac{0}{2} = 0

La recta tangente es horizontal: será de la forma

y = f(1)

.

Recuperando $f$ . Dividimos la fracción, que es impropia:

(x-1)^{2} = x^{2} - 2x + 1 = (x+1)(x-3) + 4

(Comprobación: $(x+1)(x-3) = x^{2}-2x-3$ , y faltan $+4$ .)

f'(x) = x - 3 + \frac{4}{x+1}

Integrando (en

x>-1

, donde

x+1>0

f(x) = \frac{x^{2}}{2} - 3x + 4\ln(x+1) + C

La constante. Con

f(0) = 0

f(0) = 0 - 0 + 4\ln 1 + C = C = 0

f(x) = \frac{x^{2}}{2} - 3x + 4\ln(x+1)

El valor en $x=1$ .

f(1) = \frac12 - 3 + 4\ln 2 = -\frac{5}{2} + 4\ln 2 \approx -2{,}5 + 2{,}773 = 0{,}273

La recta tangente.

y = 4\ln 2 - \frac{5}{2}

(O, equivalentemente, $y = \ln 16 - \tfrac52 \approx 0{,}27$ .)

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Consejo

No basta con la pendiente: la tangente necesita también el punto, y aquí $f(1)$ no se da, hay que calcularlo integrando. Es lo que convierte un ejercicio de derivadas en uno de integrales.

$\frac{(x-1)^{2}}{x+1}$ es una fracción impropia: divide antes de integrar. Si intentas integrarla tal cual no reconocerás ni el polinomio ni el logaritmo.

Que la pendiente salga $0$ no es casualidad: el numerador de $f'$ es un cuadrado, así que $f'\geq 0$ siempre y se anula solo en $x=1$ . La función es creciente y en ese punto tiene una tangente horizontal sin ser extremo (es una inflexión).