Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2021 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Calcula

\int_{0}^{2} \frac{1}{1 + \sqrt{e^{x}}}\,dx

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = \sqrt{e^{x}}$ .)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\int_{0}^{2}\frac{dx}{1+\sqrt{e^{x}}} = 2\int_{1}^{e}\frac{dt}{t(1+t)} = 2\ln\frac{2e}{1+e} \approx 0{,}76\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El cambio sugerido convierte una integral con exponencial y raíz en una racional. La parte delicada es calcular bien

dx

: hay que despejar

x

en función de

t

y derivar.

De

t = \sqrt{e^{x}} = e^{x/2}

se obtiene

x = 2\ln t

, y por tanto

dx = \dfrac{2}{t}\,dt

. Ese factor

\frac{1}{t}

es el que convierte el integrando en

\dfrac{2}{t(1+t)}

, una racional con raíces simples que se descompone en fracciones simples de cabeza:

\frac{1}{t\,(1+t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}

Y como es una integral definida, conviene cambiar también los límites.

Desarrollo

El cambio de variable.

t = \sqrt{e^{x}} = e^{x/2} \;\Longrightarrow\; \ln t = \frac{x}{2} \;\Longrightarrow\; x = 2\ln t \;\Longrightarrow\; dx = \frac{2}{t}\,dt

Nuevos límites.

Para $x = 0$ : $\;t = e^{0} = 1$
Para $x = 2$ : $\;t = e^{1} = e$

La integral transformada.

\int_{0}^{2}\frac{dx}{1 + \sqrt{e^{x}}} = \int_{1}^{e}\frac{1}{1+t}\cdot\frac{2}{t}\,dt = 2\int_{1}^{e}\frac{dt}{t\,(1+t)}

Fracciones simples.

\frac{1}{t\,(1+t)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t} \;\Longrightarrow\; 1 = A\,(1+t) + B\,t

Con $t = 0$ : $\;1 = A$
Con $t = -1$ : $\;1 = -B \Longrightarrow B = -1$

\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}

Integración.

2\int_{1}^{e}\left(\frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}\right)dt = 2\Bigl[\ln|t| - \ln|1+t|\Bigr]_{1}^{e} = 2\left[\ln\frac{t}{1+t}\right]_{1}^{e}

= 2\left(\ln\frac{e}{1+e} - \ln\frac{1}{2}\right) = 2\,\ln\left(\frac{e}{1+e}\cdot 2\right) = 2\,\ln\frac{2e}{1+e}

Valor numérico.

\frac{2e}{1+e} \approx \frac{5{,}4366}{3{,}7183} \approx 1{,}4622 \;\Longrightarrow\; 2\ln(1{,}4622) \approx 0{,}760

(Coherente: el integrando pasa de $\frac{1}{2} = 0{,}5$ en $x=0$ a $\frac{1}{1+e} \approx 0{,}269$ en $x=2$ , y es decreciente, así que la integral debe estar entre $2\cdot 0{,}269 = 0{,}54$ y $2\cdot 0{,}5 = 1$ . El valor $0{,}76$ encaja.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lo que hace funcionar el cambio no es sustituir $\sqrt{e^{x}}$ por $t$ , sino el diferencial: $dx = \frac{2}{t}dt$ . Ese $\frac{1}{t}$ extra es el que crea la racional $\frac{2}{t(1+t)}$ . Si te olvidas de despejar $x$ y derivar, te queda $\int \frac{dt}{1+t}$ y el resultado es otro.

La descomposición $\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}$ conviene tenerla vista: aparece constantemente. Y agrupa los logaritmos al final con $\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$ ; la respuesta queda mucho más presentable que una resta de cuatro logaritmos.