Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2011 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Halla:

\int\frac{e^{x}}{\bigl(e^{2x}-1\bigr)\bigl(e^{x}+1\bigr)}\,dx

Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = e^{x}$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = e^{x}, \ dt = e^{x}dx \;\Longrightarrow\; I = \int\frac{dt}{(t-1)(t+1)^{2}}\;}

\boxed{\;\frac{1}{(t-1)(t+1)^{2}} = \frac{1/4}{t-1}-\frac{1/4}{t+1}-\frac{1/2}{(t+1)^{2}}\;}

\boxed{\;I = \frac14\ln|t-1|-\frac14\ln|t+1|+\frac{1}{2(t+1)}+K\;}

\boxed{\;I = \frac14\ln\left|\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right|+\frac{1}{2\,(e^{x}+1)}+K\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El cambio

t = e^{x}

dt = e^{x}dx

, y ese

e^{x}

es exactamente el numerador: desaparece por completo.

e^{2x} = \bigl(e^{x}\bigr)^{2} = t^{2}

\int\frac{e^{x}\,dx}{\bigl(e^{2x}-1\bigr)\bigl(e^{x}+1\bigr)} = \int\frac{dt}{\bigl(t^{2}-1\bigr)(t+1)}

Y factorizando

t^{2}-1 = (t-1)(t+1)

aparece una raíz doble en

t=-1

: la descomposición necesita dos fracciones para ese factor.

Desarrollo

El cambio de variable.

t = e^{x} \;\Longrightarrow\; dt = e^{x}\,dx

I = \int\frac{dt}{\bigl(t^{2}-1\bigr)(t+1)} = \int\frac{dt}{(t-1)(t+1)^{2}}

Fracciones simples. Como

(t+1)

está al cuadrado, hay que poner dos términos:

\frac{1}{(t-1)(t+1)^{2}} = \frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}+\frac{C}{(t+1)^{2}}

1 = A\,(t+1)^{2}+B\,(t-1)(t+1)+C\,(t-1)

Con $t = 1$ :

\;1 = 4A \;\Longrightarrow\; A = \dfrac14

Con $t = -1$ :

\;1 = -2C \;\Longrightarrow\; C = -\dfrac12

Con $t = 0$ :

\;1 = A-B-C = \dfrac14-B+\dfrac12 \;\Longrightarrow\; B = -\dfrac14

Integramos.

I = \frac14\int\frac{dt}{t-1}-\frac14\int\frac{dt}{t+1}-\frac12\int\frac{dt}{(t+1)^{2}}

La última es una potencia:

\;\displaystyle\int (t+1)^{-2}dt = -\frac{1}{t+1}

I = \frac14\ln|t-1|-\frac14\ln|t+1|+\frac{1}{2\,(t+1)}+K

Deshacemos el cambio (

t = e^{x}

, y

e^{x}+1>0

siempre):

I = \frac14\ln\bigl|e^{x}-1\bigr|-\frac14\ln\bigl(e^{x}+1\bigr)+\frac{1}{2\,\bigl(e^{x}+1\bigr)}+K

Agrupando los logaritmos:

I = \frac14\ln\left|\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right|+\frac{1}{2\,\bigl(e^{x}+1\bigr)}+K

Comprobación (derivando en $t$ ).

\frac14\cdot\frac{1}{t-1}-\frac14\cdot\frac{1}{t+1}-\frac{1}{2\,(t+1)^{2}} = \frac{(t+1)^{2}-(t-1)(t+1)-2\,(t-1)}{4\,(t-1)(t+1)^{2}}

= \frac{\bigl(t^{2}+2t+1\bigr)-\bigl(t^{2}-1\bigr)-2t+2}{4\,(t-1)(t+1)^{2}} = \frac{4}{4\,(t-1)(t+1)^{2}} = \frac{1}{(t-1)(t+1)^{2}} \;\checkmark

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Consejo

Cuando el numerador es la derivada del cambio propuesto, el cambio de variable limpia la integral entera. Aquí $dt = e^{x}dx$ se lleva el numerador completo.

Con una raíz doble en el denominador, la descomposición necesita $\frac{B}{t+1}$ y $\frac{C}{(t+1)^{2}}$ . Poner solo una de las dos hace que el sistema no tenga solución.

No olvides deshacer el cambio al final: la respuesta debe estar en $x$ , no en $t$ . Y como $e^{x}+1>0$ , ese logaritmo puede ir sin valor absoluto.