Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2014 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sea

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = e^{x}\cos(x)

.

a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

.

b) [1,5 puntos] Calcula la primitiva de

f

cuya gráfica pasa por el punto

(0,0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } f'(x) = e^{x}(\cos x-\mathrm{sen}\,x); \quad f(0)=1,\ f'(0)=1: \quad y = x+1\;}

\boxed{\;I = e^{x}\mathrm{sen}\,x-\int e^{x}\mathrm{sen}\,x\,dx, \qquad \int e^{x}\mathrm{sen}\,x\,dx = -e^{x}\cos x+I\;}

\boxed{\;2I = e^{x}(\mathrm{sen}\,x+\cos x) \;\Longrightarrow\; I = \frac{e^{x}(\mathrm{sen}\,x+\cos x)}{2}\;}

\boxed{\;F(0) = 0 \Rightarrow K = -\tfrac12: \quad F(x) = \frac{e^{x}(\mathrm{sen}\,x+\cos x)}{2}-\frac12\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Derivada de un producto y fórmula $y = f(0)+f'(0)\,x$ .
b) Integral cíclica: exponencial por trigonométrica. Se integra por partes dos veces con el mismo criterio y, al reaparecer la integral original, se despeja como una incógnita. Después se ajusta la constante con el punto dado.

Desarrollo

a) La tangente en $x=0$ .

f'(x) = e^{x}\cos x-e^{x}\,\mathrm{sen}\,x = e^{x}\bigl(\cos x-\mathrm{sen}\,x\bigr)

f(0) = e^{0}\cos 0 = 1 \qquad f'(0) = 1\,(1-0) = 1

y-1 = 1\,(x-0) \;\Longrightarrow\; y = x+1

b) La integral. Llamemos

I = \int e^{x}\cos x\,dx

Primera integración por partes.

u = e^{x} \;\Rightarrow\; du = e^{x}dx \qquad dv = \cos x\,dx \;\Rightarrow\; v = \mathrm{sen}\,x

I = e^{x}\,\mathrm{sen}\,x-\int e^{x}\,\mathrm{sen}\,x\,dx

Segunda integración por partes (mismo criterio: la exponencial en

u

u = e^{x} \;\Rightarrow\; du = e^{x}dx \qquad dv = \mathrm{sen}\,x\,dx \;\Rightarrow\; v = -\cos x

\int e^{x}\,\mathrm{sen}\,x\,dx = -e^{x}\cos x+\int e^{x}\cos x\,dx = -e^{x}\cos x+I

Sustituyendo.

I = e^{x}\,\mathrm{sen}\,x-\Bigl[-e^{x}\cos x+I\Bigr] = e^{x}\,\mathrm{sen}\,x+e^{x}\cos x-I

Despejando.

2I = e^{x}\bigl(\mathrm{sen}\,x+\cos x\bigr) \;\Longrightarrow\; I = \frac{e^{x}\bigl(\mathrm{sen}\,x+\cos x\bigr)}{2}

La familia de primitivas.

F(x) = \frac{e^{x}\bigl(\mathrm{sen}\,x+\cos x\bigr)}{2}+K

La condición del punto $(0,0)$ .

F(0) = \frac{1\cdot(0+1)}{2}+K = \frac12+K = 0 \;\Longrightarrow\; K = -\frac12

F(x) = \frac{e^{x}\bigl(\mathrm{sen}\,x+\cos x\bigr)}{2}-\frac{1}{2}

Comprobación (derivando).

F'(x) = \frac{e^{x}(\mathrm{sen}\,x+\cos x)+e^{x}(\cos x-\mathrm{sen}\,x)}{2} = \frac{2e^{x}\cos x}{2} = e^{x}\cos x \;\checkmark

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Consejo

La integral es cíclica: dale un nombre ( $I$ ) desde el principio y despéjala al final. Si intentas seguir integrando por partes, entras en un bucle infinito.

Usa el mismo criterio en las dos aplicaciones (la exponencial siempre en $u$ ). Si lo cambias, vuelves al punto de partida con la identidad trivial $I = I$ .

No confundas los apartados: la tangente necesita $f'$ , la primitiva necesita $\int f$ . Y para fijar $K$ basta con $F(0) = 0$ , que es inmediato porque $\mathrm{sen}\,0 = 0$ y $\cos 0 = 1$ .