Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2019 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Considera las funciones

f, g : [-\pi, \pi] \to \mathbb{R}

definidas por

f(x) = \cos(x)

g(x) = \operatorname{sen}(x)

.

a) [1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto delimitado por las gráficas de

f

y de

g

en el intervalo

\left[-\dfrac{3\pi}{4},\, \dfrac{\pi}{4}\right]

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \tan x = 1 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{\pi}{4},\; -\tfrac{3\pi}{4}: \quad \left(\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{\sqrt2}{2}\right) \text{ y } \left(-\tfrac{3\pi}{4}, -\tfrac{\sqrt2}{2}\right)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \cos x > \operatorname{sen} x \text{ en el intervalo (véase } x=0)\;}

\boxed{\;A = \Bigl[\operatorname{sen} x + \cos x\Bigr]_{-3\pi/4}^{\pi/4} = \sqrt2 - (-\sqrt2) = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los cortes salen de

\cos x = \operatorname{sen} x

, es decir

\tan x = 1

, que en

[-\pi,\pi]

tiene dos soluciones (la tangente tiene periodo

\pi

).

Y esas dos soluciones son precisamente los extremos del intervalo del apartado b):

-\frac{3\pi}{4}

\frac{\pi}{4}

. Eso significa que dentro no hay más cortes y una función va siempre por encima de la otra: basta comprobarlo en un punto, por ejemplo

x=0

Desarrollo

a) Puntos de corte.

\cos x = \operatorname{sen} x \;\Longrightarrow\; \tan x = 1

[-\pi,\pi]

hay dos soluciones, separadas por un periodo

\pi

x = \frac{\pi}{4} \qquad \text{y} \qquad x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}

Ordenadas.

\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt2}{2}

\text{Cortes: } \left(\frac{\pi}{4},\, \frac{\sqrt2}{2}\right) \quad \text{y} \quad \left(-\frac{3\pi}{4},\, -\frac{\sqrt2}{2}\right)

Las gráficas. El coseno vale

-1

\pm\pi

, sube hasta

1

x=0

y vuelve a bajar (es par). El seno vale

0

\pm\pi

y en

0

, con mínimo

-1

-\frac{\pi}{2}

y máximo

1

\frac{\pi}{2}

(es impar). Se cruzan en los dos puntos anteriores.

b) ¿Quién va arriba? En

x = 0

, punto interior del intervalo:

f(0) = 1 \qquad > \qquad g(0) = 0

El coseno está por encima en todo

\left[-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]

(no hay más cortes dentro).

Área.

A = \int_{-3\pi/4}^{\pi/4}\bigl(\cos x - \operatorname{sen} x\bigr)dx = \Bigl[\operatorname{sen} x + \cos x\Bigr]_{-3\pi/4}^{\pi/4}

En $x = \frac{\pi}{4}$ :

\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2} = \sqrt{2}

En $x = -\frac{3\pi}{4}$ :

-\frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt2}{2} = -\sqrt{2}

A = \sqrt2 - \bigl(-\sqrt2\bigr) = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$\tan x = 1$ tiene dos soluciones en $[-\pi,\pi]$ , separadas por $\pi$ : $\frac{\pi}{4}$ y $-\frac{3\pi}{4}$ . La tangente tiene periodo $\pi$ , no $2\pi$ ; olvidar la segunda es el error más repetido.

Fíjate en que los límites de integración son exactamente los dos cortes: eso garantiza que dentro no hay cambio de posición relativa y basta una sola integral, sin partirla.

Cuidado con los signos de la primitiva: $\int(\cos x - \operatorname{sen} x)dx = \operatorname{sen} x + \cos x$ (el menos del seno se convierte en más al integrar). Es justo el signo que hace que la evaluación en el extremo izquierdo salga $-\sqrt2$ y el área acabe siendo $2\sqrt2$ .