Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2019 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sean las funciones

f, g : [0,\pi] \to \mathbb{R}

definidas por

f(x) = \operatorname{sen}(x)

g(x) = \operatorname{sen}(2x)

.

a) [1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas y las rectas

x = 0

x = \dfrac{\pi}{3}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \operatorname{sen} x\,(1 - 2\cos x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0,\; \tfrac{\pi}{3},\; \pi\;}

\boxed{\;\text{Cortes: } (0,0), \; \left(\tfrac{\pi}{3}, \tfrac{\sqrt3}{2}\right), \; (\pi, 0)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \int_{0}^{\pi/3}\bigl[\operatorname{sen} 2x - \operatorname{sen} x\bigr]dx = \left[-\tfrac{\cos 2x}{2} + \cos x\right]_{0}^{\pi/3} = \tfrac34 - \tfrac12 = \tfrac14\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para los cortes, la clave es la fórmula del ángulo doble:

\operatorname{sen}(2x) = 2\operatorname{sen} x\cos x

Con ella, la ecuación

\operatorname{sen} x = \operatorname{sen} 2x

se factoriza y se resuelve sin dificultad.

En b), los límites de integración vienen dados (

0

\pi/3

) y resultan ser precisamente dos cortes consecutivos, así que dentro del intervalo una gráfica va siempre por encima de la otra. Basta comprobar cuál con un punto intermedio.

Desarrollo

a) Puntos de corte.

\operatorname{sen} x = \operatorname{sen} 2x = 2\operatorname{sen} x\cos x

\operatorname{sen} x\,\bigl(1 - 2\cos x\bigr) = 0

Primer factor:

\;\operatorname{sen} x = 0 \Longrightarrow x = 0

x = \pi

(los dos, en

[0,\pi]

).

Segundo factor:

\;\cos x = \dfrac12 \Longrightarrow x = \dfrac{\pi}{3}

\text{Cortes: } (0,\, 0), \quad \left(\frac{\pi}{3},\, \frac{\sqrt3}{2}\right), \quad (\pi,\, 0)

Las gráficas.

f(x) = \operatorname{sen} x

es la sinusoide habitual: sube de

0

1

\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]

y baja a

0

\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right]

g(x) = \operatorname{sen}(2x)

tiene medio periodo: sube a

1

x=\tfrac{\pi}{4}

, vuelve a

0

x=\tfrac{\pi}{2}

y hace un lóbulo negativo entre

\tfrac{\pi}{2}

\pi

. Se cortan en los tres puntos anteriores.

b) ¿Quién va arriba en $\left[0,\tfrac{\pi}{3}\right]$ ? Evaluamos en

x = \tfrac{\pi}{4}

g\left(\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 1 \qquad > \qquad f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}707

$g$ está por encima en todo el intervalo (no hay más cortes entre

0

\pi/3

).

Área.

A = \int_{0}^{\pi/3}\bigl[\operatorname{sen}(2x) - \operatorname{sen}(x)\bigr]dx = \left[-\frac{\cos(2x)}{2} + \cos x\right]_{0}^{\pi/3}

En $x = \pi/3$ :

-\frac{\cos\frac{2\pi}{3}}{2} + \cos\frac{\pi}{3} = -\frac{-\tfrac12}{2} + \frac12 = \frac14 + \frac12 = \frac34

En $x = 0$ :

-\frac{\cos 0}{2} + \cos 0 = -\frac12 + 1 = \frac12

A = \frac34 - \frac12 = \frac{1}{4} = 0{,}25 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No resuelvas $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen} 2x$ "igualando los ángulos": eso pierde soluciones. Usa el ángulo doble y saca factor común $\operatorname{sen} x$ ; así aparecen las tres soluciones del intervalo, no solo una.

Al integrar $\operatorname{sen}(2x)$ , la primitiva es $-\frac{\cos(2x)}{2}$ : ese $\tfrac12$ del ángulo doble es el error más frecuente del apartado b), y aquí es justo lo que hace que el resultado salga $\tfrac14$ y no otro número.

Comprueba quién va arriba evaluando en un punto interior. En $\left[0,\frac{\pi}{3}\right]$ es $g$ ; pero fuera de ese intervalo la situación se invierte, así que el orden no es universal.