Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2014 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función derivable definida por

f(x) = \begin{cases} a-x & \text{si } x\leq 1 \\[6pt] \dfrac{b}{x}+\ln x & \text{si } x>1\end{cases}

donde

\ln

denota el logaritmo neperiano.

a) [1,25 puntos] Calcula

a

b

.

b) [1,25 puntos] Para

a = 3

b = 2

calcula los extremos absolutos de

f

en el intervalo

[0,e]

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Continuidad: } a-1 = b; \qquad \text{Derivabilidad: } -1 = 1-b\;}

\boxed{\;\text{a) } b = 2, \qquad a = 3\;}

\boxed{\;\text{b) } f'(x) = \frac{x-2}{x^{2}} \text{ en } (1,e] \Rightarrow x = 2; \quad \text{candidatos } 0,\ 1,\ 2,\ e\;}

\boxed{\;\text{Máximo } (0,3); \qquad \text{Mínimo } \bigl(2,\; 1+\ln2\bigr)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Derivable $\Rightarrow$ continua. Hay que imponer las dos condiciones en $x=1$ : igualdad de valores e igualdad de derivadas laterales.
b) Extremos absolutos en un intervalo cerrado: por el teorema de Weierstrass existen, y los candidatos son

- los extremos del intervalo (

x=0

x=e

),
- los puntos críticos interiores (

f'=0

),
- el punto de empalme

x=1

.

Se evalúa

f

en todos ellos y se comparan los valores.

Desarrollo

a) Continuidad en $x=1$ .

f(1^{-}) = a-1 \qquad f(1^{+}) = \frac{b}{1}+\ln 1 = b

a-1 = b \qquad \text{(primera ecuación)}

Derivadas laterales.

x<1: \; f'(x) = -1 \;\Longrightarrow\; f'(1^{-}) = -1

x>1: \; f'(x) = -\frac{b}{x^{2}}+\frac1x \;\Longrightarrow\; f'(1^{+}) = -b+1

-1 = 1-b \;\Longrightarrow\; b = 2 \qquad\Longrightarrow\qquad a = b+1 = 3

a = 3, \qquad b = 2

b) Extremos absolutos en $[0,e]$ con

f(x) = 3-x

x\leq1

f(x) = \frac2x+\ln x

x>1

.

Tramo $[0,1]$ :

f(x) = 3-x

es decreciente (

f' = -1

f(0) = 3 \qquad f(1) = 2

Tramo $(1,e]$ :

f'(x) = -\frac{2}{x^{2}}+\frac1x = \frac{x-2}{x^{2}}

f'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2 \in (1,e)

1<x<2: \; f'<0 \ (\text{decrece}) \qquad 2<x\leq e: \; f'>0 \ (\text{crece})

Los valores candidatos.

f(0) = 3

f(1) = 2

f(2) = \frac22+\ln 2 = 1+\ln 2 \approx 1{,}693

f(e) = \frac{2}{e}+\ln e = \frac2e+1 \approx 1{,}736

Comparación.

\textbf{Máximo absoluto: } (0,\; 3) \qquad \textbf{Mínimo absoluto: } \bigl(2,\; 1+\ln2\bigr) \approx (2,\; 1{,}69)

(Obsérvese que $f(e)\approx1{,}736 > f(2)\approx1{,}693$ : aunque $e$ sea el extremo derecho, no es el mínimo.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Derivable implica continua: hacen falta las dos ecuaciones. Con solo la de las derivadas obtienes $b$ pero te quedas sin $a$ .

Para extremos absolutos en un cerrado hay que evaluar en todos los candidatos: extremos del intervalo, puntos con $f'=0$ y el punto de empalme. Olvidar $x=0$ te haría perder el máximo.

Compara los valores numéricamente: $1+\ln2\approx1{,}69$ frente a $\frac2e+1\approx1{,}74$ . La diferencia es pequeña y solo se ve calculando; no lo decidas "a ojo".