Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2018 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Considera la función

f : \left(-\dfrac{e}{2},\, +\infty\right) \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \ln(2x + e)

donde

\ln

denota logaritmo neperiano.

a) [0,75 puntos] Haz un esbozo de la gráfica de

f

calculando sus puntos de corte con los ejes coordenados.

b) [1,75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de

f

y los ejes de coordenadas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Corte con } OY: (0,1); \qquad \text{corte con } OX: \left(\tfrac{1-e}{2},\, 0\right) \approx (-0{,}86;\, 0)\;}

\boxed{\;u = 2x + e \;\Longrightarrow\; \int_{(1-e)/2}^{0}\ln(2x+e)\,dx = \frac12\int_{1}^{e}\ln u\,du\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \frac12\Bigl[u\ln u - u\Bigr]_{1}^{e} = \frac{1}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El recinto queda determinado por los dos cortes con los ejes, que son a la vez los límites de integración: desde el corte con

OX

(donde

f

vale

0

) hasta el corte con

OY

(

x=0

).

Entre ellos

f

es positiva —el logaritmo es creciente y ya ha pasado por su cero—, así que el recinto es el "triángulo curvilíneo" que queda bajo la curva y sobre el eje

OX

, cerrado a la derecha por el eje

OY

. La integral sale directamente positiva.

Para integrar, lo más limpio es el cambio $u = 2x + e$ , que reduce todo a

\int\ln u\,du

, una integral por partes de manual con un resultado sorprendentemente redondo.

Desarrollo

a) Cortes con los ejes.

Con el eje $OY$ (

x = 0

f(0) = \ln(e) = 1 \;\Longrightarrow\; (0,\, 1)

Con el eje $OX$ (

f(x) = 0

\ln(2x + e) = 0 \;\Longrightarrow\; 2x + e = 1 \;\Longrightarrow\; x = \frac{1 - e}{2} \approx -0{,}859

\left(\frac{1-e}{2},\; 0\right)

(Está dentro del dominio: $\tfrac{1-e}{2} \approx -0{,}86 > -\tfrac{e}{2} \approx -1{,}36$ .)

La gráfica. Es un logaritmo creciente, con asíntota vertical en

x = -\tfrac{e}{2}

(donde el argumento se anula), que corta al eje

OX

\tfrac{1-e}{2}

y pasa por

(0,1)

. Entre ambos cortes está por encima del eje: en

x = -\tfrac12

, por ejemplo, vale

\ln(e-1) \approx 0{,}54 > 0

.

b) Área. El recinto va de

x = \tfrac{1-e}{2}

x = 0

, con

f \geq 0

A = \int_{(1-e)/2}^{0}\ln(2x+e)\,dx

Cambio de variable. Con

u = 2x + e

se tiene

du = 2\,dx

, es decir

dx = \tfrac{du}{2}

, y los límites cambian:

x = \frac{1-e}{2} \;\Longrightarrow\; u = 1, \qquad x = 0 \;\Longrightarrow\; u = e

\int_{(1-e)/2}^{0}\ln(2x+e)\,dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{e}\ln u\,du

La integral del logaritmo (por partes, con

u_{p} = \ln u

dv = du

\int\ln u\,du = u\ln u - u

\frac12\Bigl[u\ln u - u\Bigr]_{1}^{e} = \frac12\Bigl[(e - e) - (0 - 1)\Bigr] = \frac12\cdot 1 = \frac{1}{2}

A = \frac{1}{2} = 0{,}5 \ \text{unidades cuadradas}

(El resultado es positivo, coherente con que $\ln u \geq 0$ en todo $[1,e]$ : el cambio de variable transforma el recinto original en el que queda bajo $y = \ln u$ entre $u=1$ y $u=e$ , con la mitad de anchura.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los límites de integración son los cortes con los ejes: el enunciado no los da, hay que calcularlos en el apartado a). Ese es el nexo entre los dos apartados.

Con el cambio $u = 2x+e$ , no olvides transformar también los límites ( $x = \tfrac{1-e}{2}$ pasa a $u = 1$ , y $x = 0$ a $u = e$ ) y el $dx = \tfrac{du}{2}$ . Ese $\tfrac12$ es exactamente lo que convierte el resultado $1$ en el $\tfrac12$ final.

$\int\ln u\,du = u\ln u - u$ conviene tenerlo memorizado: sale por partes con $dv = du$ y aparece constantemente. Entre $1$ y $e$ vale exactamente $1$ , un resultado que merece la pena reconocer.