Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2021 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Calcula

\int_{0}^{\pi/2}\Bigl(2\operatorname{sen}^{2}(x) - \cos^{2}(x)\Bigr)dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;2\operatorname{sen}^{2}x - \cos^{2}x = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(2x)\;}

\boxed{\;\int_{0}^{\pi/2}\Bigl(2\operatorname{sen}^{2}x - \cos^{2}x\Bigr)dx = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}79\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las potencias pares de seno y coseno no se integran directamente: hay que rebajarlas con las fórmulas del ángulo doble,

\operatorname{sen}^{2}(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}, \qquad \cos^{2}(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

Al sustituir, el integrando se convierte en una constante más un coseno, ambos inmediatos.

Hay un camino todavía más rápido si se conocen los dos valores clásicos

\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}^{2}(x)\,dx = \int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}(x)\,dx = \frac{\pi}{4}

(iguales por simetría, y su suma es

\int_{0}^{\pi/2} 1\,dx = \frac{\pi}{2}

). Lo desarrollo por el método general y comparo.

Desarrollo

Transformación del integrando.

2\operatorname{sen}^{2}(x) - \cos^{2}(x) = 2\cdot\frac{1 - \cos(2x)}{2} - \frac{1 + \cos(2x)}{2}

= \bigl(1 - \cos 2x\bigr) - \frac{1}{2} - \frac{\cos 2x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(2x)

Integración.

\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(2x)\right)dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{3}{2}\cdot\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}\right]_{0}^{\pi/2} = \left[\frac{x}{2} - \frac{3}{4}\operatorname{sen}(2x)\right]_{0}^{\pi/2}

(Ojo al factor $\frac{1}{2}$ de la regla de la cadena: $\int\cos(2x)dx = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}$ .)

Evaluación.

En

x = \frac{\pi}{2}

\;\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{3}{4}\operatorname{sen}(\pi) = \dfrac{\pi}{4} - 0 = \dfrac{\pi}{4}

x = 0

\;0 - \dfrac{3}{4}\operatorname{sen}(0) = 0

\int_{0}^{\pi/2}\Bigl(2\operatorname{sen}^{2}x - \cos^{2}x\Bigr)dx = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785

Comprobación por el camino corto. Usando los valores clásicos:

2\cdot\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$\operatorname{sen}^{2}(x)$ no se integra como $\frac{\operatorname{sen}^{3}x}{3}$ : esa regla vale para $x^{n}$ , no para funciones compuestas. La vía correcta es siempre rebajar el cuadrado con las fórmulas del ángulo doble.

Y no te comas el $\frac{1}{2}$ al integrar $\cos(2x)$ . Es el error más frecuente en este tipo de integral, y aquí ni siquiera se nota en el resultado, porque el seno se anula en los dos límites; pero con otros límites de integración cambiaría la respuesta por completo.