Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Considera la región limitada por las curvas

y = x^{2}

y = -x^{2} + 4x

.

a) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte de ambas curvas.

b) [0,75 puntos] Expresa el área como una integral.

c) [1 punto] Calcula el área.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad x^{2} = -x^{2}+4x \Rightarrow 2x(x-2) = 0: \quad (0,0) \text{ y } (2,4)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \int_{0}^{2}\Bigl[\bigl(-x^{2}+4x\bigr) - x^{2}\Bigr]dx = \int_{0}^{2}\bigl(4x - 2x^{2}\bigr)dx\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad A = \left[2x^{2} - \tfrac{2x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 8 - \tfrac{16}{3} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos parábolas: una hacia arriba con vértice en el origen y otra hacia abajo con vértice en

(2,4)

.

Los cortes salen de igualarlas, y al hacerlo los términos cuadráticos no se cancelan (una tiene

+x^{2}

y la otra

-x^{2}

), así que queda una ecuación de segundo grado con dos raíces.

Entre ellas, la parábola invertida va por encima. El resto es una integral polinómica inmediata.

Desarrollo

a) Puntos de corte.

x^{2} = -x^{2} + 4x \;\Longrightarrow\; 2x^{2} - 4x = 0 \;\Longrightarrow\; 2x\,(x - 2) = 0

x = 0 \quad \text{y} \quad x = 2

Ordenadas:

\;y(0) = 0\;

\;y(2) = 4

\text{Cortes: } (0,\, 0) \quad \text{y} \quad (2,\, 4)

El esbozo.

y = x^{2}

es la parábola habitual, con vértice en el origen y ramas hacia arriba.

y = -x^{2}+4x = -(x-2)^{2} + 4

tiene las ramas hacia abajo y vértice en

(2,4)

; corta al eje

OX

x=0

x=4

. La región es la "lente" que forman entre

x=0

x=2

.

¿Quién va arriba? En

x = 1

, punto interior:

-1 + 4 = 3 \qquad > \qquad 1

La parábola invertida está por encima.

b) El área como integral.

A = \int_{0}^{2}\Bigl[\bigl(-x^{2}+4x\bigr) - x^{2}\Bigr]dx = \int_{0}^{2}\bigl(4x - 2x^{2}\bigr)dx

c) Cálculo.

A = \left[2x^{2} - \frac{2x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3}

A = \frac{8}{3} \approx 2{,}67 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al igualar dos parábolas con coeficientes principales de signo opuesto, los términos cuadráticos se suman en vez de cancelarse: aquí queda $2x^{2}-4x = 0$ , no una ecuación lineal. Es un despiste frecuente.

Determina quién va arriba evaluando en un punto interior antes de escribir la integral. Si restas al revés obtienes $-\tfrac83$ , y un área no puede ser negativa.

El apartado b) pide solo plantear la integral: escribirla bien, con sus límites y el integrando correcto, ya vale su puntuación aunque no la resuelvas. Merece la pena hacerlo con cuidado y por separado.