Integrales

a) Puntos de corte.$$x^{3} - x = -x^{2} + 1 \;\Longrightarrow\; x^{3} + x^{2} - x - 1 = 0$$Agrupando:$$x^{2}(x+1) - (x+1) = (x+1)\bigl(x^{2}-1\bigr) = (x+1)(x+1)(x-1) = (x+1)^{2}(x-1) = 0$$Las soluciones son $x = -1$ (doble) y $x = 1$. Sus ordenadas:$$f(-1) = -1 + 1 = 0 \quad (\text{y } g(-1) = -1+1 = 0) \qquad f(1) = 1 - 1 = 0 \quad (\text{y } g(1) = 0)$$Los puntos de corte son $(-1,\ 0)$ y $(1,\ 0)$: ambos están sobre el eje $OX$.

Esbozo. La cúbica $f(x) = x(x-1)(x+1)$ corta al eje en $-1$, $0$ y $1$; es negativa en $(-1,0)$ y positiva en $(0,1)$. La parábola $g(x) = -x^{2}+1$ es cóncava hacia abajo, con vértice $(0,1)$ y raíces $\pm 1$. Entre $x=-1$ y $x=1$ la parábola queda por encima de la cúbica y las dos se tocan en los extremos: el recinto acotado es la región con forma de lente comprendida entre ambas, con vértices en $(-1,0)$ y $(1,0)$. En $x=-1$ la raíz es doble, así que las curvas son tangentes ahí (se rozan sin cruzarse); en $x=1$ sí se cruzan.

b) Área. El signo de la diferencia:$$f(x) - g(x) = (x+1)^{2}(x-1)$$En el intervalo $(-1,1)$ se cumple $(x+1)^{2} > 0$ y $x - 1 < 0$, luego $f - g < 0$: la parábola está por encima en todo el recinto y no hay que partir la integral.$$A = \int_{-1}^{1}\bigl(g(x) - f(x)\bigr)dx = \int_{-1}^{1}\bigl(-x^{3} - x^{2} + x + 1\bigr)dx$$$$= \left[-\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x\right]_{-1}^{1}$$En $x=1$: $-\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{-3 - 4 + 6 + 12}{12} = \frac{11}{12}$.

En $x=-1$: $-\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{-3 + 4 + 6 - 12}{12} = -\frac{5}{12}$.$$A = \frac{11}{12} - \left(-\frac{5}{12}\right) = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \ \text{unidades cuadradas}$$Comprobación por paridad (más rápida en el examen): en $[-1,1]$ las funciones impares $-x^{3}$ y $x$ integran $0$, así que$$A = \int_{-1}^{1}\bigl(-x^{2} + 1\bigr)dx = \left[-\frac{x^{3}}{3} + x\right]_{-1}^{1} = \left(-\frac{1}{3}+1\right) - \left(\frac{1}{3}-1\right) = \frac{4}{3}$$